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diff --git a/semestre 2/maths/3- applications linéaires/cours.out b/semestre 2/maths/3- applications linéaires/cours.out deleted file mode 100644 index 3ea312e..0000000 --- a/semestre 2/maths/3- applications linéaires/cours.out +++ /dev/null @@ -1,3 +0,0 @@ -\BOOKMARK [1][-]{section.1}{\376\377\000D\000\351\000f\000i\000n\000i\000t\000i\000o\000n}{}% 1 -\BOOKMARK [1][-]{section.2}{\376\377\000S\000o\000u\000s\000\040\000e\000s\000p\000a\000c\000e\000\040\000v\000e\000c\000t\000o\000r\000i\000e\000l}{}% 2 -\BOOKMARK [1][-]{section.3}{\376\377\000D\000\351\000t\000e\000r\000m\000i\000n\000e\000r\000\040\000u\000n\000e\000\040\000b\000a\000s\000e\000\040\000d\000u\000\040\000n\000o\000y\000a\000u}{}% 3 diff --git a/semestre 2/maths/3- applications linéaires/cours.pdf b/semestre 2/maths/3- applications linéaires/cours.pdf Binary files differdeleted file mode 100644 index f76f996..0000000 --- a/semestre 2/maths/3- applications linéaires/cours.pdf +++ /dev/null diff --git a/semestre 2/maths/3- applications linéaires/cours.tex b/semestre 2/maths/3- applications linéaires/cours.tex deleted file mode 100644 index e8c5963..0000000 --- a/semestre 2/maths/3- applications linéaires/cours.tex +++ /dev/null @@ -1,234 +0,0 @@ -%%===================================================================================== -%% -%% Filename: cours.tex -%% -%% Description: -%% -%% Version: 1.0 -%% Created: 03/06/2024 -%% Revision: none -%% -%% Author: YOUR NAME (), -%% Organization: -%% Copyright: Copyright (c) 2024, YOUR NAME -%% -%% Notes: -%% -%%===================================================================================== -\documentclass[a4paper, titlepage]{article} - -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{textcomp} -\usepackage[french]{babel} -\usepackage{amsmath, amssymb} -\usepackage{amsthm} -\usepackage[svgnames]{xcolor} -\usepackage{thmtools} -\usepackage{lipsum} -\usepackage{framed} -\usepackage{parskip} -\usepackage{titlesec} -\usepackage{hyperref} - -\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} - -% figure support -\usepackage{import} -\usepackage{xifthen} -\pdfminorversion=7 -\usepackage{pdfpages} -\usepackage{transparent} -\newcommand{\incfig}[1]{% - \def\svgwidth{\columnwidth} - \import{./figures/}{#1.pdf_tex} -} - -\pdfsuppresswarningpagegroup=1 - -\colorlet{defn-color}{DarkBlue} -\colorlet{props-color}{Blue} -\colorlet{warn-color}{Red} -\colorlet{exemple-color}{Green} -\colorlet{corol-color}{Orange} -\newenvironment{defn-leftbar}{% - \def\FrameCommand{{\color{defn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% - \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% - {\endMakeFramed} -\newenvironment{warn-leftbar}{% - \def\FrameCommand{{\color{warn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% - 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notefont=\sffamily\bfseries,% - notebraces={}{},% - headpunct=,% - bodyfont=\sffamily,% - headformat=\color{props-color}Théorème~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% - preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},% - postfoothook=\end{props-leftbar},% -]{better-thm} -\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% - notefont=\sffamily\bfseries,% - notebraces={}{},% - headpunct=,% - bodyfont=\sffamily,% - headformat=\color{corol-color}Corollaire~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% - preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{corol-leftbar},% - postfoothook=\end{corol-leftbar},% -]{better-corol} - -\declaretheorem[style=better-defn]{defn} -\declaretheorem[style=better-warn]{warn} -\declaretheorem[style=better-exemple]{exemple} -\declaretheorem[style=better-corol]{corol} -\declaretheorem[style=better-props, numberwithin=defn]{props} -\declaretheorem[style=better-thm, sibling=props]{thm} -\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection] -%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn] - -\newenvironment{system}% -{\left\lbrace\begin{align}}% -{\end{align}\right.} - -\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}} - -\usepackage{LobsterTwo} -\titleformat{\section}{\newpage\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{} -\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{} -\titleformat{\subsubsection}{\vspace{1em}\LobsterTwo \large\bfseries}{\thesubsubsection.}{1em}{} - -\newenvironment{lititle}% -{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}% -{\\} - -\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}} - -\title{Applications linéaires et sous espace vectoriel} -\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}} - -\begin{document} - \maketitle - \tableofcontents - \newpage - \section{Définition} - \begin{defn} - Une application $f$ est dite linéaire de $E$ dans $F$ (deux sev) si et seulement si : - $$ \forall (a,b)\in E^2,\forall (x,y)\in E^2,\quad f(ax+by) = af(x)+bf(y) $$ - \end{defn} - \begin{thm} - Toute application linéaire est représentable par une matrice. - \end{thm} - \begin{exemple} - Représentation d'une application linéaire de $\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ : - $$ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1}x+a_{1,2}y+a_{1,3}z\\a_{2,1}x+a_{2,2}y+a_{2,3}z \end{pmatrix} $$ - \end{exemple} - \begin{defn} - L'image de $A$ une matrice représentant l'application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est notée $\mathrm{Im}A$ et : - $$ \mathrm{Im}A =\{AX|X\in E\}$$ - \end{defn} - L'image est l'ensemble des éléments atteints par l'application linéaire représentée par $A$. - \begin{defn} - Le noyau de $A$ une matrice représentant l'application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est noté $\mathrm{Ker}A$ et : - $$ \mathrm{Ker}A=\{X| AX = 0, X\in E\} $$ - \end{defn} - Le noyau est l'ensemble des éléments donnant 0 par $f$. - \begin{defn} - La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteur d'une base (sauf si la base vaut $\{0\}$, dans ce cas là sa dimension vaut 0). On note la dimension de $E$ $\mathrm{dim}E$. - - D'une manière formelle, soit $f$ une base de $E$, on a : - $$ \mathrm{dim}(E)=\mathrm{card}(f) $$ - (où $\mathrm{card}$ est le cardinal de $f$)\\ - sauf si $f=\{0\}$, où dans ce cas $\mathrm{dim}(E)=0$. - \end{defn} - \begin{thm} - La dimension de l'image de l'application linéaire $f$ représentée par les matrices $AX$ est égal au rang de $A$, i.e. - $$ \mathrm{dim}~\mathrm{Im}A = \mathrm{rg}A $$ - \end{thm} - \begin{thm}[Théorème du rang] - Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. - - On a que : - $$ \mathrm{dim}E = \mathrm{dim}~\mathrm{Im}A+\mathrm{dim}~\mathrm{Ker}A $$ - \end{thm} - \begin{thm} - Les vecteurs colonnes au dessus de la matrice $A$ se trouvant au dessus des pivots constituent une base de l'image. - \end{thm} - \begin{exemple} - On a : - $$ \begin{pmatrix} 1&1&0\\1&1&0 \end{pmatrix} $$ - Après le pivot de Gauss, on obtient : - $$ \begin{pmatrix} \fbox{1}&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix} $$ - Donc, une base de l'image est $\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} $ - - Comme $\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix}$ est déjà échelonné, on a que $\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ est une base de l'image. - \end{exemple} - \section{Sous espace vectoriel} - \begin{defn} - Un sous espace vectoriel $V$ est un espace vectoriel si et seulement si : - \begin{itemize} - \item $V\neq \varnothing$ - \item pour tout $v_1,v_2\in V$, on a $v_1+v_2$ est bien dans $V$ - \item pour tout $v$ dans $V$ et pour tout $\lambda$ dans $\mathbb{K}$, on a $\lambda v\in V$ - \end{itemize} - \end{defn} - \begin{props} - L'image et le noyau d'une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels. - \end{props} - \section{Déterminer une base du noyau} - On a une base de l'image et on a $A$, la matrice représentant l'application linéaire à l'origine. - - On sait que la base du noyau possède $\mathrm{dim}(E)-\mathrm{dim}~\mathrm{Im}(A)$ (théorème du rang). - - Pour chaque colonne sans pivot, on détermine un vecteur de la base du noyau (voir \href{}{ce gif}) -\end{document} |