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\title{Applications linéaires et sous espace vectoriel}
\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Définition}
\begin{defn}
Une application $f$ est dite linéaire de $E$ dans $F$ (deux sev) si et seulement si :
$$ \forall (a,b)\in E^2,\forall (x,y)\in E^2,\quad f(ax+by) = af(x)+bf(y) $$
\end{defn}
\begin{thm}
Toute application linéaire est représentable par une matrice.
\end{thm}
\begin{exemple}
Représentation d'une application linéaire de $\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ :
$$ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1}x+a_{1,2}y+a_{1,3}z\\a_{2,1}x+a_{2,2}y+a_{2,3}z \end{pmatrix} $$
\end{exemple}
\begin{defn}
L'image de $A$ une matrice représentant l'application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est notée $\mathrm{Im}A$ et :
$$ \mathrm{Im}A =\{AX|X\in E\}$$
\end{defn}
L'image est l'ensemble des éléments atteints par l'application linéaire représentée par $A$.
\begin{defn}
Le noyau de $A$ une matrice représentant l'application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est noté $\mathrm{Ker}A$ et :
$$ \mathrm{Ker}A=\{X| AX = 0, X\in E\} $$
\end{defn}
Le noyau est l'ensemble des éléments donnant 0 par $f$.
\begin{defn}
La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteur d'une base (sauf si la base vaut $\{0\}$, dans ce cas là sa dimension vaut 0). On note la dimension de $E$ $\mathrm{dim}E$.
D'une manière formelle, soit $f$ une base de $E$, on a :
$$ \mathrm{dim}(E)=\mathrm{card}(f) $$
(où $\mathrm{card}$ est le cardinal de $f$)\\
sauf si $f=\{0\}$, où dans ce cas $\mathrm{dim}(E)=0$.
\end{defn}
\begin{thm}
La dimension de l'image de l'application linéaire $f$ représentée par les matrices $AX$ est égal au rang de $A$, i.e.
$$ \mathrm{dim}~\mathrm{Im}A = \mathrm{rg}A $$
\end{thm}
\begin{thm}[Théorème du rang]
Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$.
On a que :
$$ \mathrm{dim}E = \mathrm{dim}~\mathrm{Im}A+\mathrm{dim}~\mathrm{Ker}A $$
\end{thm}
\begin{thm}
Les vecteurs colonnes au dessus de la matrice $A$ se trouvant au dessus des pivots constituent une base de l'image.
\end{thm}
\begin{exemple}
On a :
$$ \begin{pmatrix} 1&1&0\\1&1&0 \end{pmatrix} $$
Après le pivot de Gauss, on obtient :
$$ \begin{pmatrix} \fbox{1}&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix} $$
Donc, une base de l'image est $\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} $
Comme $\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix}$ est déjà échelonné, on a que $\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ est une base de l'image.
\end{exemple}
\section{Sous espace vectoriel}
\begin{defn}
Un sous espace vectoriel $V$ est un espace vectoriel si et seulement si :
\begin{itemize}
\item $V\neq \varnothing$
\item pour tout $v_1,v_2\in V$, on a $v_1+v_2$ est bien dans $V$
\item pour tout $v$ dans $V$ et pour tout $\lambda$ dans $\mathbb{K}$, on a $\lambda v\in V$
\end{itemize}
\end{defn}
\begin{props}
L'image et le noyau d'une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels.
\end{props}
\section{Déterminer une base du noyau}
On a une base de l'image et on a $A$, la matrice représentant l'application linéaire à l'origine.
On sait que la base du noyau possède $\mathrm{dim}(E)-\mathrm{dim}~\mathrm{Im}(A)$ (théorème du rang).
Pour chaque colonne sans pivot, on détermine un vecteur de la base du noyau (voir \href{}{ce gif})
\end{document}
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