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@@ -1,3 +1,6 @@
 \BOOKMARK [1][-]{section.1}{\376\377\000D\000\351\000f\000i\000n\000i\000t\000i\000o\000n}{}% 1
 \BOOKMARK [1][-]{section.2}{\376\377\000S\000o\000u\000s\000\040\000e\000s\000p\000a\000c\000e\000\040\000v\000e\000c\000t\000o\000r\000i\000e\000l}{}% 2
 \BOOKMARK [1][-]{section.3}{\376\377\000D\000\351\000t\000e\000r\000m\000i\000n\000e\000r\000\040\000u\000n\000e\000\040\000b\000a\000s\000e\000\040\000d\000u\000\040\000n\000o\000y\000a\000u}{}% 3
+\BOOKMARK [1][-]{section.4}{\376\377\000D\000i\000a\000g\000o\000n\000a\000l\000i\000s\000a\000t\000i\000o\000n}{}% 4
+\BOOKMARK [2][-]{subsection.4.1}{\376\377\000C\000h\000a\000n\000g\000e\000m\000e\000n\000t\000\040\000d\000e\000\040\000b\000a\000s\000e}{section.4}% 5
+\BOOKMARK [2][-]{subsection.4.2}{\376\377\000D\000i\000a\000g\000o\000n\000a\000l\000i\000s\000a\000t\000i\000o\000n}{section.4}% 6
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+++ b/semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.pdf
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index e8c5963..ace0c95 100644
--- a/semestre 2/maths/3- applications linéaires/cours.tex
+++ b/semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.tex
@@ -225,10 +225,61 @@ headpunct=,%
 	\begin{props}
 		L'image et le noyau d'une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels.
 	\end{props}
+	\begin{thm}
+		Soit $F$ un sev de $E$ un ev.
+
+		On a :
+		\begin{itemize}
+			\item $F$ admet une base
+			\item toutes les bases de $E$ ont le même nombre de vecteurs
+		\end{itemize}
+	\end{thm}
+	\begin{thm}
+		Soit $L$ une famille libre.
+
+		Si $L$ n'est pas une base, alors on peut rajouter des vecteurs dans $L$ pour que $L$ devienne une base. Ces vecteurs doivent être linéairement indépendant de tous les vecteurs de $L$.
+	\end{thm}
+	\begin{defn}
+		La notation $\mathrm{Vect}(F)$ (où $F$ est une famille) est l'espace vectoriel généré par $F$ comme famille génératrice.
+	\end{defn}
 	\section{Déterminer une base du noyau}
 	On a une base de l'image et on a $A$, la matrice représentant l'application linéaire à l'origine.
 
 	On sait que la base du noyau possède $\mathrm{dim}(E)-\mathrm{dim}~\mathrm{Im}(A)$ (théorème du rang).
 	
-	Pour chaque colonne sans pivot, on détermine un vecteur de la base du noyau (voir \href{}{ce gif})
+	Pour chaque colonne sans pivot, on détermine un vecteur de la base du noyau (voir \href{https://giphy.com/gifs/5cKfoYHIVk2kK5BE1G}{ce gif})
+	\section{Diagonalisation}
+	Une diagonalisation permet de simplifier une matrice et donc une application linéaire ! Il s'agit en réalité d'un double changement de base.
+	\subsection{Changement de base}
+	La matrice de passage de la base $B_1$ à la base $B_2$ permet de transformer les coordonnées d'un vecteur $v$ exprimées dans $B_1$ en les coordonnées de $v$ exprimées dans $B_2$.
+
+	Pour passer de $B_1$ à $B_2$ (dans l'ensemble de définition de $f$) et pour passer de $C_1$ à $C_2$ (dans l'ensemble d'arrivé de $F$), on fait :
+	$$ A' = Q^{-1}AP $$
+	où $A$ est l'application linéaire, $P$ la matrice de passage de $B_1$ à $B_2$ et $Q$ la matrice de passage de $C_1$ à $C_2$.
+
+	Si $f$ est un endomorphisme (ensemble de définition est le même que celui d'arrivé), alors on a :
+	$$ A' = P^{-1}AP $$
+	\subsection{Diagonalisation}
+	Diagonaliser $A$ revient à trouver une nouvelle base $P$ telle que $A'=P^{-1}AP$ est une matrice diagonale.
+
+	Les coefficients de $A'$ sont les racines du polynôme $\mathrm{det}(A-\lambda I_n)$ (on le note toujours $P_A(\lambda)$). Ces racines sont les valeurs propres (i.e. il existe $v$ tel que $f(v)=\lambda v$).
+
+	Maintenant, on cherche les vecteurs $v$ tels que :
+	$$ Av=\lambda_iv $$
+	Pour se faire, on résout :
+	$$ (A-\lambda_iI)v = 0 \quad\iff\quad\mathrm{Ker}(A-\lambda_iI)$$
+	(ce qui est équivalent à l'équation du dessus)
+	
+	Ces solutions nous donnent maintenant la base $P$.
+	\begin{exemple}
+		Si $A = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$, alors ses valeurs propres sont $1$ et $-1$.
+
+		On a pour $\lambda=1$ :
+		$$\mathrm{Ker}(A-I) = \mathrm{Ker}\begin{pmatrix} -1&1\\1&-1 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$
+		et pour $\lambda=-1$ :
+		$$\mathrm{Ker}(A+I) = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}$$
+		Ainsi,
+		$$ P = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix}  $$
+	\end{exemple}
+	$P$ n'est pas unique !
 \end{document}
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index 0000000..1be2bc1
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+++ b/semestre 2/maths/td/02-20.pdf
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@@ -0,0 +1,186 @@
+%%=====================================================================================
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+%%       Filename:  cours.tex
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+%%    Description:  
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+%%        Created:  03/06/2024
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+%%         Author:  YOUR NAME (), 
+%%   Organization:  
+%%      Copyright:  Copyright (c) 2024, YOUR NAME
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+%%          Notes:  
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+%%=====================================================================================
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+\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection]
+%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn]
+
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+
+\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}}
+
+\usepackage{LobsterTwo}
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+
+\newenvironment{lititle}%
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+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{TD du 20 février}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\newpage
+	\section{Fin de la feuille du 13}
+	\subsection*{Exercice 7}
+	$\lambda v_1+v_2 = (\lambda x_1+x_2,\lambda y_1 + y_2)$\\
+	$\lambda y_1+y_2=\lambda x_1+x_2+\lambda+1 \neq \lambda x_1+x_2+1$\\
+	donc $A$ n'est pas un sev.
+
+	$\lambda v_1+v_2 = (\lambda x_1 + x_2, \lambda x_1 + x_2)$\\
+	donc $A_1$ est un sev.
+
+	$\lambda v_1+v_2 = (\lambda x_1+x_2,\lambda y_1 + y_2)$\\
+	$\lambda y_1 = \lambda^2 x^2 \neq x^2$\\
+	donc $A_2$ n'est pas un sev.
+	\section{Feuille du 20}
+	\subsection*{Exercice 2}
+	$g\circ f (x,y,z) = (z-2y-x, 2x-y+z)$
+
+	$BA = \begin{pmatrix} -1&-2&1\\2&-1&1 \end{pmatrix} $
+	\subsection*{Exercice 3}
+	Par le théorème du rang, on a que la dimension du Ker est 1. La représentation matricielle de $f$ est :
+	$$ \begin{pmatrix} 1&-1&0\\0&1&-1 \end{pmatrix}  $$
+	$$x-y = 0 \quad\land\quad y-z = 0 \iff x = y = z$$
+	Donc $\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Vect}((1,1,1)) = \{(a,a,a)|a\in\mathbb{R}\}$
+
+	Comme $f$ est de rang $2$, alors $f$ est surjective (tous les éléments sont atteints), mais pas injective.
+\end{document}