Ajout du premier semestre

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+\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection]
+%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn]
+
+\newenvironment{system}%
+{\left\lbrace\begin{align}}%
+{\end{align}\right.}
+
+\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}}
+
+\usepackage{LobsterTwo}
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+
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+{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}%
+{\\}
+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{Rappels}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\tableofcontents
+	\newpage
+	Rappels en vrac.
+	\section{Vecteur}
+	\subsection{Norme d'un vecteur}
+	\begin{defn}
+		La norme du vecteur $\vec v$ se note $||\vec v||$ et $$||\vec v||=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}$$
+	\end{defn}
+	\subsection{Produit scalaire}
+	\begin{defn}
+		Le produit scalaire entre $\vec v$ et $\vec u$ se note $\vec v\cdot\vec u$ et $$\vec v\cdot\vec u=||\vec u||\times||\vec v||\cos\alpha$$
+	\end{defn}
+	\begin{props}
+		Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$, on a :
+		\begin{itemize}
+			\item $\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot \vec u$
+			\item $\forall \lambda\in\mathbb{R},\quad(\lambda\vec u)\cdot\vec v = \lambda\cdot(\vec u\vec v)$
+			\item $(\vec u+\vec v)\vec w = \vec u\vec w+\vec w\vec v$
+		\end{itemize}
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\begin{props}
+		Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, on a :
+		\begin{itemize}
+			\item $||\vec u+\vec v||^2 = (\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)$
+			\item $||\vec u-\vec v||^2 = (\vec u-\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)$
+		\end{itemize}
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\subsubsection{Produit scalaire dans une bose orthonormée}
+	\begin{defn}
+		Un vecteur est alors caractérisé par trois coordonnées (qui sont celles du point d'arrivé si le vecteur part du point d'origine). On peut alors écrire :
+		$$ \vec u = x\vec i+y\vec j+z\vec k $$
+		(où $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ sont les coordonnées du vecteur $\vec u$ et $(\vec i,\vec j, \vec k)$ une base)
+	\end{defn}
+	\begin{props}
+		Pour deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, on a :
+		$$ \vec u\cdot\vec v = xx'+yy'+zz' $$
+		(où $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ sont les coordonnées de $\vec u$ et $(x',y',z')$ sont les coordonnées de $\vec v$)
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\subsection{Produit vectoriel}
+	\begin{defn}
+		Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs dans une base orthonormée.
+
+		Le produit vectoriel de $\vec v$ par $\vec u$ est noté $ \vec u\land \vec v$ et est le vecteur perpendiculaire à $\vec u$ et à $\vec v$ de norme $u\times v\times\sin\alpha$ (où $\alpha$ est l'angle entre $\vec u$ et $\vec v$) dirigé selon "la règle de la main droite".
+	\end{defn}
+	\begin{props}
+		On a :
+		$$ 
+		\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} =
+		\begin{pmatrix} yz'-zy'\\zx'-xz'\\xy'-yx' \end{pmatrix} 
+		$$
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT (besoin de linéarité comme lemme)
+	\end{proof}
+	\begin{warn}
+		$\vec u\land\vec v = -\vec v\land\vec u$
+	\end{warn}
+	\begin{lititle}
+		Application principale
+	\end{lititle}
+	Il sert à obtenir un vecteur orthogonal à deux autres.
+	\section{Droites et plans}
+	\subsection{Droites}
+	\begin{defn}
+		Une droite $\Delta$ dirigée par $\vec u = \begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}$ passant par $A=(a,b)$ est l'ensemble des points $P$ sastisfaisant cette relation :
+		$$ \forall M\in P,\quad\exists k\in\mathbb{R},\quad \overrightarrow{AM} = k\vec u $$
+	\end{defn}
+	\begin{props}[Équations paramétriques]
+		Une droite $\Delta$ dirigée par $\begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}$ passant par $(a,b)$ possède comme équations paramétriques :
+		$$\begin{system}
+			x=a+t\alpha\\
+			y=b+t\beta
+		\end{system},\quad (t\in\mathbb{R})$$
+		pour un point de coordonnées $(x,y)$ appartenant à $\Delta$.
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\begin{props}[Équation cartésienne]
+		Une droite $\Delta$ dirigée par $\begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}$ passant par $(a,b)$ possède comme équation cartésienne : 
+		$$ y-\frac{\beta}{\alpha}x=b-\frac{a\beta}{\alpha} $$
+		pour un point de coordonnées $(x,y)$ appartenant à $\Delta$.
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	C'est la même chose dans $\mathbb{R}^3$.
+	\subsection{Plans}
+	\begin{props}[Équations paramétriques]
+		Soit $\Pi$ le plan passant par $A=(a,b,c)$ et dirigé par $\vec v = \begin{pmatrix} \alpha\\\beta\\\gamma \end{pmatrix}$ et par $\vec u = \begin{pmatrix} \alpha'\\\beta'\\\gamma' \end{pmatrix}$ possède comme équation paramétrique :
+		$$\begin{system}
+			x=a+t\alpha+s\alpha'\\
+			y=b+t\beta+s\beta'\\
+			z=c+t\gamma+s\gamma'
+		\end{system},\quad (t,s\in\mathbb{R})$$
+		pour un point de coordonnées $(x,y,z)$ appartenant à $\Pi$.
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\begin{props}
+		Soit $\Pi$ un plan passant par $A$ et dirigée par $\vec u$ et $\vec v$.\\
+		Soit $P$ un point de $\Pi$.
+
+		Le vecteur $\overrightarrow{AP}$ est orthogonal à $\vec w$ (où $\vec w$ est un vecteur orthognal à $\vec u$ et $\vec v$).
+
+		Autrement dit, $$ \overrightarrow{AP}\cdot (\vec u\land\vec v) = 0 $$
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	Cela permet d'obtenir l'équation cartésienne du plan.
+	\section{Familles libres, familles liées}
+	\begin{defn}
+		Une famille de $n$-vecteurs $(\vec u_1,\ldots,\vec u_n)\in\mathbb{R}^n$ est libre si, et seulement si, ces vecteurs sont linéairement indépendant. i.e.
+		$$ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i\vec u_i = \vec 0\iff \forall i\in[|1,n|],\quad\lambda_i = 0 $$
+		avec $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^n$.
+	\end{defn}
+	\begin{defn}
+		Une famille de $n$-vecteurs est liée si, et seulement si, elle n'est pas libre.
+	\end{defn}
+\end{document}
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+%%      Copyright:  Copyright (c) 2024, YOUR NAME
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+%%          Notes:  
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+\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection]
+%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn]
+
+\newenvironment{system}%
+{\left\lbrace\begin{align}}%
+{\end{align}\right.}
+
+\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}}
+
+\usepackage{LobsterTwo}
+\titleformat{\section}{\newpage\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{}
+\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{}
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+
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+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{Complexes}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\tableofcontents
+	\newpage
+	\section{Présentation}
+	\begin{defn}
+		L'ensemble des nombres complexes est : $$ \mathbb{C} = \{a+ib|a,b\in\mathbb{R}\} $$
+		où $i^2 = -1$.
+
+		On a :
+		\begin{align*}
+			a+ib+a'+ib' &= a+a'+(b+b')i \\
+			(a+ib)(a'+ib') &= aa'+aib'+a'ib-bb'
+		\end{align*}
+	\end{defn}
+	On utilise la lettre $z$ pour les nombres complexes.
+	\begin{defn}
+		Soit $z\in\mathbb{C}$ tel que $z=a+bi$ (où $a,b\in\mathbb{R}$).
+
+		On note $\mathfrak{Re}(z)$ la partie réelle de $z$ qui est $a$.\\
+		On note $\mathfrak{Im}(z)$ la partie imaginaire de $z$ qui est $b$.\\
+		On note $|z|$ le module de $z$ qui est $\sqrt{a^2+b^2}$.\\
+		On note $\arg z$ l'argument de $z$ qui est l'angle entre la droite $OZ$ et la droite $\mathbb{R}^+$ (où $Z$ est le point d'affixe $z$).
+	\end{defn}
+	\begin{props}[Forme trigonométrique]
+		On peut donc écrire $z$ comme :
+		$$ z = |z|(\cos(\arg z)+i\sin(\arg z)) $$
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\begin{props}
+		On a :
+		$$ \arg z + \arg w = \arg(zw) $$
+		(où $z$ et $w$ sont deux nombres complexes.)
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\begin{defn}[Forme exponentielle]
+		On note $z\in\mathbb{C}$ maintenant :
+		$$ z = |z|e^{i\arg z} $$
+		avec $e^{i\alpha} := \cos\alpha+i\sin\alpha$
+	\end{defn}
+	On utilise cette notation car les calculs sont les mêmes que ceux de la forme trigonométrique (cf. la proposition précédente).
+	\begin{exemple}
+		$z=|z|(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ et $w=|w|(\cos\beta+i\sin\beta)$.
+
+		On a :
+		$$ zw = |z||w|(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)) = |z||w|e^{i(\alpha+\beta)} $$
+	\end{exemple}
+	\section{Racines}
+	\begin{thm}[Racines de l'unité]
+		On a que toutes les solutions de :
+		$$ z^n = 1 $$
+		où $n\in\mathbb{N}$ et $z\in\mathbb{C}$, sont :
+		$$ \{e^{\frac{2ik\pi}{n}}|k\in\mathbb{N}\} $$
+	\end{thm}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	On peut réduire l'ensemble des $k$ à $[|0;n-1|]$ car l'argument de $z$ est modulo $2\pi$.
+	\begin{props}
+		La somme des racines de l'unité est nulle
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\subsection{Racine carré d'un complexe}
+	\subsubsection{Complexe sous forme exponentielle}
+	Soit $z\in\mathbb{C}$. On cherche $x\in\mathbb{C}$. On note $x=re^{i\alpha}$ et $z=se^{i\beta}$.
+	\begin{align*}
+		x^2 &= z \\
+		(re^{i\alpha})^2 &= re^{i\alpha} \\
+		r^2e^{2i\alpha}	&= se^{i\beta}
+	\end{align*}
+	$x$ a comme module $\sqrt{|z|}$ et a comme argument $\frac{\beta}{2}$ ou $\frac{\beta}{2}+\pi$.
+
+	$x$ est donc $$ \left\{ \sqrt{|z|}e^{i\frac{\beta}{2}},\sqrt{|z|}e^{i\frac{\beta}{2}+\pi} \right\}  $$
+	\subsubsection{Complexe sous forme cartésienne}
+	Soit $X\in\mathbb{C}$ tel que $X=x+iy$ (où $x,y\in\mathbb{R}$). Soit $z\in\mathbb{C}$ tel que $z=a+ib$ (où $a,b\in\mathbb{R}$).
+	\begin{align*}
+		X^2&= z \\
+		(x+iy)^2&= a+ib \\
+		x^2+2ixy-y^2 &= a+ib \\
+	\end{align*}
+	Et on a :
+	\begin{align*}
+		x^2-y^2 &=a\\
+		2xy &= b\\
+		x^2+y^2 &= \sqrt{a^2+b^2}~\text{ car on $|x|^2=|z|$}
+	\end{align*}
+	Et on résout.
+	\section{Polynômes}
+	\begin{defn}
+		Soit $(\lambda_0,\ldots,\lambda_n)$ une famille de nombres complexes.
+
+		On note le polynôme lié à la famille $$P(X)=\sum_{i=0}^{n} \lambda_i x^i$$
+	\end{defn}
+	\begin{defn}
+		Le degré d'un polynôme $P$ est noté $\mathrm{deg}P$ tel que :
+		$$ \lambda_n\neq 0,\quad\forall i\in\mathbb{N}\geqslant n,\quad\lambda_i = 0 $$
+		où $n$ est le degré du polynôme.
+	\end{defn}
+	\begin{defn}
+		Une racine $r\in\mathbb{K}$ du polynôme $P$ est défini telle que $P(r)=0$.
+	\end{defn}
+	\begin{thm}[Théorème de d'Alembert-Gauss]
+		Pour tout polynôme $P$ de degré $n$, il existe exactement $n$ racines compté avec leur ordre de multiplicité. i.e.
+		$$ P(X)=\lambda_n\prod_{k=1}^{n} (x-x_k) $$
+		où la famille $(x_1,\ldots,x_n)$ sont les racines de $P$.
+	\end{thm}
+	\begin{proof}
+		Admis.
+	\end{proof}
+\end{document}
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+
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+
+\title{Fonctions}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\tableofcontents
+	\newpage
+	\section{Ensemble de définition et continuité}
+	\begin{defn}
+		Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ prend toutes les valeurs dans $A$ et lui associe une unique valeur dans $B$.
+
+		On appelle $A$ le domaine de définition de $f$ et $B$ l'ensemble d'arrivée de $f$.\\
+		On dit que $f$ est de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
+	\end{defn}
+	\begin{defn}
+		Une fonction $f:I\to E$ est continue si et seulement si :
+		$$ \forall x\in I,\quad \lim_{n \to x_0} f(x) = f(x_0) $$
+	\end{defn}
+	\section{Propriétés des applications}
+	\begin{defn}
+		Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ est surjective si et seulement si :
+		$$ \forall y\in B,\quad\exists x\in A,\quad f(x)=y $$
+	\end{defn}
+	Tous les éléments de $B$ sont atteints, comme la tarte.
+	\begin{defn}
+		Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ est injective si et seulement si :
+		$$ \forall (x_1,x_2)\in A^2,\quad f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2 $$
+	\end{defn}
+	Chaque élément de $A$ possède une image unique.
+	\begin{defn}
+		Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ est bijective si et seulement si elle est injective et surjective.
+	\end{defn}
+	Tous les éléments de $B$  sont atteints et est l'image d'un unique antécédent de $A$.
+	\begin{defn}
+		Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ est paire si et seulement si :
+		$$ \forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)=f(-x) $$
+	\end{defn}
+	\begin{defn}
+		Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ est impaire si et seulement si :
+		$$ \forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)=-f(x) $$
+	\end{defn}
+	\begin{defn}
+		Si $f$ de $A$ dans $B$ est bijective, alors il existe une fonction réciproque notée $f^{-1}$ de $B$ dans $A$ tel que :
+		$$ \forall a\in A,\quad f^{-1}(f(a)) = a $$
+	\end{defn}
+	\begin{props}
+		$f^{-1}$ est bijective et sa réciproque est $f$.
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\begin{defn}
+		On dit que $f$ est $T$-périodique si et seulement si :
+		$$ \forall x\in A,\quad f(x)=f(x+T) $$
+	\end{defn}
+	\section{Grands théorèmes}
+	\begin{thm}[Théorème des valeurs intermédiaires]
+		Si $f$ est continue sur $[a,b]$, si pour tout $y$ inclus entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=y$.
+	\end{thm}
+	\begin{proof}
+		Admis
+	\end{proof}
+	\begin{thm}[Théorème de la bijection]
+		Soit $f$ une fonction de $[a,b]$ dans $E$. Si $f$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante), alors :
+		$$ \forall y\in [f(a),f(b)],\quad\exists !c\in[a,b],\quad f(c)=y $$
+	\end{thm}
+	\begin{proof}
+		Admis
+	\end{proof}
+	\section{Dérivation}
+	\begin{defn}
+		La dérivée de $f$ de $A$ dans $B$ est :
+		$$f'\begin{system}
+			A &\to b\\
+			x&\longmapsto \lim_{t \to x_0} \frac{f(t)-f(x)}{t-x}
+		\end{system}$$
+		si la limite est définie.
+	\end{defn}
+	\begin{props}
+		Soient deux fonctions $f$ et $g$ dérivables. \\
+		On a :
+		\begin{align*}
+			(f+g)' &= f'+g'\\
+			(fg)'  &= f'g+g'f \\
+			\left(\frac{f}{g}\right)' &= \frac{f'g-g'f}{g^2} 
+		\end{align*}
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\begin{defn}
+		Soient $f:A\to B$ et $g:B\to C$.\\
+		On définit $g\circ f$ la composée de $f$ par $g$ tel que :
+		$$g\circ f\begin{system}
+			A&\to C\\
+			x\longmapsto g(f(x))
+		\end{system}$$
+	\end{defn}
+	\begin{props}
+		La dérivée de $g\circ f$ est $$g\circ f'\times f'$$
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		Chiant mais \AQT
+	\end{proof}
+	\begin{thm}
+		La dérivée de $f^{-1}$ est (si elle est dérivable) :
+		$$ f^{-1}'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $$
+	\end{thm}
+	\begin{proof}
+		Chiant, mais très intuitif graphiquement
+	\end{proof}
+\end{document}
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+%%   Organization:  
+%%      Copyright:  Copyright (c) 2024, YOUR NAME
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+
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+
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+
+\title{Intégration}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\tableofcontents
+	\newpage
+	\section{Définitions et théorèmes fondamentaux}
+	\begin{defn}
+		L'intégration de la fonction $f: [a,b]\to \mathbb{R}$ est l'aire de la région sous la courbe de $f$ et l'axe des absisses. On note ce nombre $$ \int^b_af(x)\mathrm{d}x $$
+
+		L'aire sous la courbe est :
+		$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n-1} f\left( \frac{b-a}{i} \right) \frac{b-a}{n} $$
+	\end{defn}
+
+	Ce calcul est apparenté au calcul des dérivés.
+	\begin{defn}
+		Soit $f:I\to \mathbb{R}$ avec $I$ un intervalle, on dit que $F:I\to \mathbb{R}$ est une primitive de $f$, i.e. $$ F'=f $$
+	\end{defn}
+	$F$ est toujours déterminée à une constante près.
+	\begin{thm}
+		Soit $f$ une fonction continue de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.
+
+		Il existe toujours une primitive $F$ de $f$ sur $[a,b]$.\\
+		On a alors :
+		$$ \int^b_a f(t)\mathrm{d}t = F(b)-F(a) = [F(x)]_a^b $$
+	\end{thm}
+	\begin{proof}
+		Admis.
+	\end{proof}
+	Ce calcul ne dépend pas de la constance de $F$.
+	\section{Calculs}
+	\subsection{Propriétés}
+	\begin{props}
+		La propriété de Chasles est vraie pour les intégrales
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\begin{props}
+		L'intégrale est linéaire
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\begin{props}
+		Si $f\geqslant 0$, alors $\int f\geqslant 0$.
+
+		Si $f \geqslant g$, alors $\int f \geqslant \int g$.
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\subsection{Intégration par partie}
+	\begin{thm}[IPP]
+		Soient $f,g$ deux fonctions intégrables sur $[a,b]$.
+
+		Alors~:
+		$$ \int_a^b f'(x)g(x)\mathrm{d}x = [(fg)(x)]^b_a-\int^b_af(x)g'(x)\mathrm{d}x $$
+	\end{thm}
+	\begin{proof}
+		Admis.
+	\end{proof}
+	\begin{exemple}
+		On a :
+		$$ \int_a^b te^{-t}\mathrm{d}t = [-te^{-t}]^b_a-\int^a_be^{-t}\mathrm{d}t $$
+		(en posant $f'(t)=e^{-t}$ et $g(t)=t$)
+	\end{exemple}
+	\subsection{Changement de variable}
+	\begin{thm}
+		Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue. 
+
+		Pour toute fonction $\varphi:J\to [a;b]$ de classe $\mathcal{C}^1$ et tous $\alpha,\beta\in J$ tels que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ (sous réserve d'existence), on a : $$ \int^b_af(t)\mathrm{d}t = \int^{\beta}_{\alpha}f(\varphi(u))\varphi'(u)\mathrm{d}u $$
+	\end{thm}
+	Quand on a une intégrale trop compliqué, on fait un changement de variable.
+
+	\begin{lititle}
+		Méthode
+	\end{lititle}
+	On cherche à transformer $$ \int^b_a f(t)\mathrm{d}t $$ en $$ \int^{\beta}_{\alpha} g(u)\mathrm{d}u $$
+	\begin{enumerate}
+		\item On exprime $t$ en fonction de $u$ (i.e. il existe $\varphi$ tel que $t=\varphi(u)$).
+		\item On cherche $\alpha,\beta$ tel que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$.
+		\item On vérifie que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[\alpha,\beta]$ et l’on calcule $\mathrm{d}t = \varphi'(u)\mathrm{d}u$, ce qui donne l’ancienne différentielle $\mathrm{d}t$ en fonction de la nouvelle $\mathrm{d}u$.
+		\item On transforme l’intégrant $f(t) \mathrm{d}t$ en remplaçant $\mathrm{d}t$ par $\varphi'(u) \mathrm{d}u$ et $t$ par $\mathrm{d}(u)$. On obtient ainsi un nouvel intégrant de la forme $g(u) \mathrm{d}u$.
+		\item On écrit la nouvelle intégrale et on obtient bien celle qu'on cherchait.
+	\end{enumerate}
+\end{document}
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+
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+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{Limites}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\tableofcontents
+	\newpage
+	\section{Classe d'une fonction}
+	\begin{defn}
+		Une fonction est de classe $\mathcal{C}^n$ (où $n\in\mathbb{N}^*$) si et seulement si sa dérivée $n$-ième est continue.\\
+		Une fonction de classe $\mathcal{C}^0$ ne possède pas de dérivée continue.\\
+		Une fonction est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ si et seulement si elle est dérivable une infinité de fois et que cette dériviée est continue.
+	\end{defn}
+	\begin{thm}[Théorème des accroissements finis]
+		Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1_{[a,b]}$.
+
+		Il existe $c\in]a,b[$ tel que :
+		$$ f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
+	\end{thm}
+	\begin{thm}[Inégalité des accroissements finis]
+		Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1_{[a,b]}$.
+
+		S'il existe $M\in\mathbb{R}_+$ tel que :
+		$$ \forall x\in]a,b[,\quad |f'(x)|\leqslant M $$
+		alors
+		$$ |f(b)-f(a)|\leqslant M(b-a) $$
+	\end{thm}
+	\section{Comparaison d'ordre de grandeur}
+	\begin{defn}
+		Soit $x$ de $\mathbb{R}$.
+
+		Un voisinage de $x$ est un intervalle ouvert contenant $x$.
+	\end{defn}
+	\begin{defn}
+		Une limite $l$ en $a$ de la fonction $f$ défini dans voisinage de $a$ est :
+		$$ \forall \varepsilon>0,\quad\exists N\in\mathbb{R},\quad \forall x>N,\quad f(x)\in]l-\varepsilon,l+\varepsilon[ $$
+	\end{defn}
+	\begin{defn}
+		Soient $x$ de $\mathbb{R}$ et $f,g$ deux fonctions définies sur un voisinage $I$ de $x$.
+
+		On dit que :
+		\begin{enumerate}
+			\item $f$ est un petit $o$ de $g$ au voisinage de $x$ (noté $f=o_x(g)$) s'il existe une fonction $\varepsilon:I\to \mathbb{R}$ tel que :
+				$$ \forall x\in I,\quad f(x)=\varepsilon(x)g(x)\quad\land\quad \lim_{x_0 \to x} \varepsilon(x_0) = 0 $$
+			\item $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $x$ (noté $f\sim_x g$) s'il existe une fonction $\varepsilon:I\to \mathbb{R}$ tel que :
+				$$ \forall x\in I,\quad f(x)=(1+\varepsilon(x))g(x)\quad\land\quad \lim_{x_0 \to x} \varepsilon = 0 $$
+		\end{enumerate}
+	\end{defn}
+	On note $\overline{\mathbb{R}}$ l'ensemble $\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$.
+	\begin{thm}
+		Soient $x\in\overline{\mathbb{R}}$ et $f,g$ deux fontions définis sur un voisinage $I$ de $x$ avec $g$ ne s'annulant pas en $x$.
+
+		On dit que :
+		\begin{enumerate}
+			\item $f=o_x(g)$ si $\lim_{x_0 \to x} \frac{f(x_0)}{g(x_0)}=0$
+			\item $f\sim_x g$ si $\lim_{x_0 \to x} \frac{f(x_0)}{g(x_0)}=1$
+		\end{enumerate}
+	\end{thm}
+	\begin{defn}
+		Un développement limité d'ordre $n$ (noté DL$_n$) en $a$ est une fonction telle que
+		$$ f(a+h) = c_0+c_1h+c_2h^2+\ldots+c_nh^n+o_{h\to 0}(h^n) $$
+		où $f$ admet $c_0,\ldots,c_n\in\mathbb{R}$.
+	\end{defn}
+	\begin{thm}[Théorème de Taylor]
+		Soient $n\in\mathbb{N}$ et $f:I\to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^n$ sur $I$.
+
+		On a que $f$ admet un unique DL$_n$ de forme :
+		$$ f(a+h)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k + o_{h\to 0}(h^n) $$
+	\end{thm}
+	On a :
+	\begin{center}
+		\fbox{$\displaystyle\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} +\ldots+ (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$}
+	\end{center}
+	\begin{center}
+		\fbox{$\displaystyle\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} +\ldots+ (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$}
+	\end{center}
+	\begin{center}
+		\fbox{$\displaystyle e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{x!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$}
+	\end{center}
+	\begin{center}
+		\fbox{$\displaystyle \ln x = \frac{x}{1!}-\frac{x^2}{x!}+\ldots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$}
+	\end{center}
+	\begin{center}
+		\fbox{$\displaystyle(a+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\binom{\alpha}{2}x+\ldots+\binom{\alpha}{n}x+o(x^n)$}\\
+		\fbox{$\displaystyle\binom{\alpha}{n}=\frac{\prod_{k=0}^{n} \alpha-k}{n!}$}
+	\end{center}
+	\begin{center}
+		\fbox{$\displaystyle\frac{1}{x-1}=1-x+x^2+\ldots+(-1)^nx^n+o(x^n)$}
+	\end{center}
+	\begin{center}
+		\fbox{Les fonctions hyperboliques sont comme les fonctions circulaires,}
+		\fbox{mais sans alternance du signe}
+	\end{center}
+\end{document}
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+%%      Copyright:  Copyright (c) 2024, YOUR NAME
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+%%          Notes:  
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+
+\title{Fonctions à deux variables}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\tableofcontents
+	\newpage
+	\section{Fonctions, graphes et courbes de niveau}
+	Dans ce chapitre, nous n'allons traiter que les fonctions à deux variables.
+	\begin{defn}
+		Une fonction $f$ de $D\subset\mathbb{R}^2$ dans $E\subset\mathbb{R}$ est définie telle que :
+		$$(x,y)\longmapsto f(x,y)$$
+		On appelle ce type de fonction une fonction à deux variables.
+	\end{defn}
+	\begin{defn}
+		Le graphe de $f$ une fonction à deux variables l'ensemble des points
+		$$ \Gamma_f = \{((x,y),z)|(x,y)\in D,z=f(x,y)\} $$
+	\end{defn}
+	On peut avoir que $f$ ne dépend qu'une des deux variables, $x$ par exemple. On a alors que son graphe ne dépend pas de $y$, i.e.
+	$$ \forall (y,y')\in I\subset\mathbb{R}, f(x,y) = f(x,y') $$
+	\begin{defn}
+		On définit $C_t$ tel que :
+		$$C_t = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2|f(x,y)=t\}$$
+		$C_t$ est une courbe de niveau.
+	\end{defn}
+	\section{Dérivée partielle}
+	\begin{defn}
+		Soit $f$ une fonction de $D_1\times D_2$ dans $I$.
+
+		On note $f_{y_0}$ la fonction de $D_1$ dans $I$ tel que :
+		$$ \forall s\in D_1,\quad f_{y_0} = f(s,y_0) $$
+
+		\textit{Mutadis mutandis} pour $f_{x_0}$.
+	\end{defn}
+	\begin{defn}
+		La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ (resp. $y$) est la dérivée de $f_{y_0}$ (resp. $f_{x_0}$). On la note :
+		$$ \frac{\partial f}{\partial x} = f'_{y_0} $$
+	\end{defn}
+	\begin{thm}
+		On a :
+		\begin{align*}
+			\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) &= \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\
+			\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) &= \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}
+		\end{align*}
+		Ce qui est la même chose ! Ainsi :
+		$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}$$
+	\end{thm}
+	\begin{lititle}
+		Plan tangent
+	\end{lititle}
+	L'équation du plan tangent par $f$ est $(x_0,y_0)$ :
+	$$ z = f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0) $$
+	\begin{defn}
+		On pose $\nabla f$ le gradient de $f:D_1\times D_2\to I$ (où $D_1\times D_2\subset\mathbb{R}^2$ et $I\subset\mathbb{R}$) tel que :
+		$$ \forall (x,y)\in D_1\times D_2,\quad\nabla f (x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} (x,y)\\ \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)\end{pmatrix}  $$
+	\end{defn}
+	\fbox{
+		\begin{minipage}{\dimexpr\textwidth-2\fboxsep-2\fboxrule\relax}
+			\begin{lititle}
+				\centering Notations de Monge
+			\end{lititle}
+			On note $$p=\frac{\partial f}{\partial x}\quad;\quad q=\frac{\partial f}{\partial y}$$
+			On note $$ r=\frac{\partial^2 f}{\partial^2 x}\quad;\quad s = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\quad;\quad t = \frac{\partial^2 f}{\partial^2 y} $$	
+		\end{minipage}
+	}
+	\section{Extrémum}
+	\begin{thm}
+		$f$ possède un extremum en $(x_0,y_0)$ implique que :
+		$$ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) = 0$$
+	\end{thm}
+	\begin{thm}
+		Soient $f$ une fonction à deux variables et $(x_0,y_0)$ est un point critique. \\
+		On pose $$ D = rt-s^2$$
+		avec $r,t,s$ les notations de Monge.
+
+		\begin{itemize}
+			\item Si $D>0$, alors $(x_0,y_0)$ est un extrémum. Il s'agit d'un maximum si $r<0$ ou d'un minimum si $r>0$.
+			\item Si $D<0$, alors $(x_0,y_0)$ n'est pas un extrémum.
+			\item Si $D=0$, alors tout est possible.
+		\end{itemize}
+	\end{thm}
+	\begin{props}
+		Soit $f:D\to I$ de classe $\mathcal{C}^1$. \\
+		Soit $c\in I$ et $f^{-1}(c)$ un ensemble de niveau de $f$.\\
+		Soit $X: I\to D$ telle que $X(t)\in f^{-1}(c)$ pour tout $t\in I$.
+
+		Alors :
+		$$ X'(t)\nabla f(X(t)) = 0 $$
+		pour tout $t\in I$.
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+\end{document}
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+%%       Filename:  cours.tex
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+%%        Created:  03/06/2024
+%%       Revision:  none
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+%%      Copyright:  Copyright (c) 2024, YOUR NAME
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+%%=====================================================================================
+\documentclass[a4paper, titlepage]{article}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{textcomp}
+\usepackage[french]{babel}
+\usepackage{amsmath, amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage[svgnames]{xcolor}
+\usepackage{thmtools}
+\usepackage{lipsum}
+\usepackage{framed}
+\usepackage{parskip}
+\usepackage{titlesec}
+
+\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
+
+% figure support
+\usepackage{import}
+\usepackage{xifthen}
+\pdfminorversion=7
+\usepackage{pdfpages}
+\usepackage{transparent}
+\newcommand{\incfig}[1]{%
+	\def\svgwidth{\columnwidth}
+	\import{./figures/}{#1.pdf_tex}
+}
+
+\pdfsuppresswarningpagegroup=1
+
+\newenvironment{system}%
+{\left\lbrace\begin{align}}%
+{\end{align}\right.}
+
+\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}}
+
+\usepackage{LobsterTwo}
+\titleformat{\section}{\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{}
+\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{}
+\titleformat{\subsubsection}{\vspace{1em}\LobsterTwo \large\bfseries}{\thesubsubsection.}{1em}{}
+
+\newenvironment{lititle}%
+{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}%
+{\\}
+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{Correction TD 1}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\section*{Exercice 1}
+	\begin{enumerate}
+		\item On a : 
+			\begin{table}[htpb]
+				\centering
+				\caption{Angles remarquables}
+				\label{tab:trigo}
+				\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
+					\hline
+					$\alpha$ & 0 & $\frac{\pi}{6}$ & $\frac{\pi}{4}$ & $\frac{\pi}{3}$ & $\frac{\pi}{2}$\\
+				\hline
+					$\cos\alpha$ & 1 & $\frac{\sqrt 3}{2}$ & $\frac{\sqrt 2}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & 0 \\
+					\hline
+					$\sin\alpha$ & 0 & $\frac{1}{2}$ & $\frac{\sqrt 2}{2}$ & $\frac{\sqrt 3}{2}$ & 1 \\
+					\hline
+				\end{tabular}
+			\end{table}
+		\item Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a :
+			\begin{align*}
+				\cos\left( x+\frac{\pi}{2} \right) &= -\sin x \\
+				\cos\left( x+\pi \right) &= -\cos x \\
+				\cos\left( x+\frac{3\pi}{2} \right) &= \sin x \\
+				\sin\left( x+\frac{\pi}{2} \right) &= \cos x \\
+				\sin\left( x+\pi \right) &= -\sin x \\
+				\sin\left( x+\frac{3\pi}{2} \right) &= -\cos x \\
+			\end{align*}
+		\item \AQT
+	\end{enumerate}
+	\section*{Exercice 2}
+	\AQT
+	\section*{Exercice 3}
+	Tout ce que j'ai fait est bon.
+
+	Soit $M$ un point de la droit $D$ de vecteur directeur $\vec u$ passant par $A$. On a donc :
+	$$ \overrightarrow{AM} = \alpha\vec u\quad(\alpha\in\mathbb{R}) $$
+	Si on note $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ les coordonnées de $M$ et $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ les coordonnées de $A$ dans la base canonique, alors on a :
+	$$ \begin{pmatrix} x-a\\y-b \end{pmatrix} = \alpha\vec u\quad(\alpha\in\mathbb{R}) $$
+	Ce qui nous donne l'équation paramétrique :
+	$$ \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}+t\vec u\quad(\text{où}~t\in\mathbb{R}) $$
+	Pour tous les points $M\in D$, on a :
+	$$ \overrightarrow{AM}\cdot\vec v = 0 $$
+	(où $v$ est un vecteur normal)\\
+	L'équation cartésienne est donc une relation liant $x$ et $y$ satisfaisant la relation précédente. On peut l'obtenir en résolvant l'équation paramétrique ou en calculant le produit scalaire entre tous points $M\in D$ et un vecteur normal de $D$.
+\end{document}
diff --git a/semestre 1/maths/TD/2-complexes/complément.pdf b/semestre 1/maths/TD/2-complexes/complément.pdf
new file mode 100644
index 0000000..d952919
--- /dev/null
+++ b/semestre 1/maths/TD/2-complexes/complément.pdf
diff --git a/semestre 1/maths/TD/2-complexes/td.pdf b/semestre 1/maths/TD/2-complexes/td.pdf
new file mode 100644
index 0000000..37925bb
--- /dev/null
+++ b/semestre 1/maths/TD/2-complexes/td.pdf
diff --git a/semestre 1/maths/TD/2-complexes/td.tex b/semestre 1/maths/TD/2-complexes/td.tex
new file mode 100644
index 0000000..765807c
--- /dev/null
+++ b/semestre 1/maths/TD/2-complexes/td.tex
@@ -0,0 +1,107 @@
+%%=====================================================================================
+%%
+%%       Filename:  cours.tex
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+%%        Created:  03/06/2024
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+%%      Copyright:  Copyright (c) 2024, YOUR NAME
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+\documentclass[a4paper, titlepage]{article}
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+\usepackage[utf8]{inputenc}
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+\usepackage{amsmath, amssymb}
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+
+\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
+
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+\usepackage{import}
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+\usepackage{transparent}
+\newcommand{\incfig}[1]{%
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+	\import{./figures/}{#1.pdf_tex}
+}
+
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+{\left\lbrace\begin{align}}%
+{\end{align}\right.}
+
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+
+\usepackage{LobsterTwo}
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+
+\newenvironment{lititle}%
+{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}%
+{\\}
+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{Correction TD Complexes}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\section*{Exercice 1 compléments}
+	On a :
+	\begin{align*}
+		z_1 &= 5+12i \\
+			&= (a+ib)^2 \\
+			&= a^2-b^2+2ab
+	\end{align*}
+	Alors :
+	\begin{align*}
+		a^2-b^2 &= 5 \\
+		2ab &= 12 \\
+		a^2+b^2 &= |z_1| = 13
+	\end{align*}
+	En faisant $(1)+(3)$ et $(3)-(1)$, on obtient que :
+	\begin{align*}
+		a^2 &= 9 \\
+		b^2 &= 4 \\
+		ab &= 6
+	\end{align*}
+	Ainsi, $a$ et $b$ sont de même signe. Donc :
+	$$ \{-3-2i;3+2i\} $$
+	est l'ensemble solution de $z^2=\delta$.
+	\section*{Exercice 2 compléments}
+	On a :
+	\begin{align*}
+		z^3 &= 2-2i \\ 
+			&= 2(1-i)\\
+			&= 2\sqrt 2e^{\frac{i\pi}{4}}
+	\end{align*}
+	Donc :
+	\begin{align*}
+		z &= \sqrt 2\left( e^{\frac{i\pi}{4}} \right)^{\frac{1}{3}} \\
+		  &= \sqrt 2\left( e^{\frac{i\pi}{4}+2k\pi} \right)^{\frac{1}{3}},\quad k\in\mathbb{Z} \\
+		  &= \sqrt 2e^{\frac{i\pi}{12}+\frac{2}{3}k\pi},\quad k\in\mathbb{Z} \\
+	\end{align*}
+	Comme les angles sont périodiques sur $2k\pi$, on a que toutes les solutions sont couvertes par $k\in[|0;2|]$. Ainsi :
+	$$ \left\{\sqrt 2e^{\frac{i\pi}{12}+\frac{2}{3}k\pi},k\in[|0;2|]\right\} $$
+\end{document}
diff --git a/semestre 1/maths/TD/template.tex b/semestre 1/maths/TD/template.tex
new file mode 100644
index 0000000..abf9f01
--- /dev/null
+++ b/semestre 1/maths/TD/template.tex
@@ -0,0 +1,71 @@
+%%=====================================================================================
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+%%=====================================================================================
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+\usepackage[utf8]{inputenc}
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+\newcommand{\incfig}[1]{%
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+}
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+{\left\lbrace\begin{align}}%
+{\end{align}\right.}
+
+\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}}
+
+\usepackage{LobsterTwo}
+\titleformat{\section}{\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{}
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+
+\newenvironment{lititle}%
+{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}%
+{\\}
+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{Correction TD }
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+
+\end{document}
diff --git a/semestre 1/maths/khôlles/equa-diffs+projections.out b/semestre 1/maths/khôlles/equa-diffs+projections.out
new file mode 100644
index 0000000..e868f5c
--- /dev/null
+++ b/semestre 1/maths/khôlles/equa-diffs+projections.out
@@ -0,0 +1,12 @@
+\BOOKMARK [1][-]{section.1}{\376\377\000\311\000q\000u\000a\000t\000i\000o\000n\000s\000\040\000d\000i\000f\000f\000\351\000r\000e\000n\000t\000i\000e\000l\000l\000e\000s}{}% 1
+\BOOKMARK [2][-]{subsection.1.1}{\376\377\000P\000r\000e\000m\000i\000e\000r\000\040\000o\000r\000d\000r\000e}{section.1}% 2
+\BOOKMARK [2][-]{subsection.1.2}{\376\377\000S\000e\000c\000o\000n\000d\000\040\000o\000r\000d\000r\000e}{section.1}% 3
+\BOOKMARK [1][-]{section.2}{\376\377\000P\000r\000o\000j\000e\000c\000t\000i\000o\000n\000\040\000e\000t\000\040\000s\000y\000m\000e\000t\000r\000i\000e}{}% 4
+\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.1}{\376\377\000P\000r\000o\000p\000r\000i\000\351\000t\000\351\000s\000\040\000u\000t\000i\000l\000e\000s}{section.2}% 5
+\BOOKMARK [2][-]{subsection.2.2}{\376\377\000E\000s\000t\000-\000c\000e\000\040\000u\000n\000e\000\040\000p\000r\000o\000j\000e\000c\000t\000i\000o\000n\000\040\000?}{section.2}% 6
+\BOOKMARK [1][-]{appendix.A}{\376\377\000C\000o\000r\000r\000e\000c\000t\000i\000o\000n\000s\000\040\000d\000e\000s\000\040\000\351\000q\000u\000a\000t\000i\000o\000n\000s\000\040\000d\000i\000f\000f\000\351\000r\000e\000n\000t\000i\000e\000l\000l\000e\000s}{}% 7
+\BOOKMARK [2][-]{subsection.A.1}{\376\377\000P\000r\000e\000m\000i\000e\000r\000\040\000o\000r\000d\000r\000e}{appendix.A}% 8
+\BOOKMARK [2][-]{subsection.A.2}{\376\377\000D\000e\000u\000x\000i\000\350\000m\000e\000\040\000o\000r\000d\000r\000e}{appendix.A}% 9
+\BOOKMARK [1][-]{appendix.B}{\376\377\000C\000o\000r\000r\000e\000c\000t\000i\000o\000n\000s\000\040\000d\000e\000s\000\040\000p\000r\000o\000j\000e\000c\000t\000i\000o\000n\000s\000\040\000e\000t\000\040\000s\000y\000m\000\351\000t\000r\000i\000e\000s}{}% 10
+\BOOKMARK [2][-]{subsection.B.1}{\376\377\000P\000r\000o\000p\000r\000i\000\351\000t\000\351\000s\000\040\000u\000t\000i\000l\000e\000s}{appendix.B}% 11
+\BOOKMARK [2][-]{subsection.B.2}{\376\377\000E\000s\000t\000-\000c\000e\000\040\000u\000n\000e\000\040\000p\000r\000o\000j\000e\000c\000t\000i\000o\000n\000\040\000?}{appendix.B}% 12
diff --git a/semestre 1/maths/khôlles/equa-diffs+projections.pdf b/semestre 1/maths/khôlles/equa-diffs+projections.pdf
new file mode 100644
index 0000000..75e7b43
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+++ b/semestre 1/maths/khôlles/equa-diffs+projections.pdf
diff --git a/semestre 1/maths/khôlles/equa-diffs+projections.tex b/semestre 1/maths/khôlles/equa-diffs+projections.tex
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--- /dev/null
+++ b/semestre 1/maths/khôlles/equa-diffs+projections.tex
@@ -0,0 +1,394 @@
+%%=====================================================================================
+%%
+%%       Filename:  formalisme.tex
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+%%    Description:  
+%%
+%%        Version:  1.0
+%%        Created:  06/12/2024
+%%       Revision:  none
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+%%         Author:  YOUR NAME (), 
+%%   Organization:  
+%%      Copyright:  Copyright (c) 2024, YOUR NAME
+%%
+%%          Notes:  
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+%%=====================================================================================
+\documentclass[a4paper, titlepage]{article}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
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+\newcommand{\incfig}[1]{%
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+
+\def \freespace {1em}
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+
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+\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection]
+%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn]
+
+\newenvironment{system}%
+{\left\lbrace\begin{align}}%
+{\end{align}\right.}
+
+\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}}
+
+\usepackage{LobsterTwo}
+\titleformat{\section}{\newpage\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{}
+\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{}
+\titleformat{\subsubsection}{\vspace{1em}\LobsterTwo \large\bfseries}{\thesubsubsection.}{1em}{}
+
+\newenvironment{lititle}%
+{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}%
+{\\}
+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{Khôlle 2 - Équations différentielles et projections}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Universite}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\tableofcontents
+	\newpage
+	On notera les exercicés créés par M. Kerner et M. Cote, deux professeurs à Henri-IV et à PSL, avec $\dagger$.
+	\newpage
+	\section{Équations différentielles}
+	Dans cette section, on ne traitera que des équations différentielles résolubles, c'est-à-dire que $a(t) = 1$ pour tout $t$ dans $D$, un interval, où :
+	$$ \forall t\in D,\quad a(t)y'+b(t)y=c(t) $$
+	avec $y$ une fonction dérivable sur $D$ et $b,c$ deux fonctions définies sur $D$.
+
+	\begin{props}
+		L'ensemble de définition $D$ de $E$, une équation différentielle du premier ordre, est
+		$$ D = D_a\cap D_b\cap D_c $$
+		où $D_a$ est l'ensemble de définition de $a$ (ici $\mathbb{R}$), $D_b$ est celui de $b$ et $D_c$ celui de $c$.
+	\end{props}
+
+	On rappelera que résoudre correctement une équation différentielle, c'est donner sa solution homogène (souvent notée $y_H$), sa solution particulière (souvent noté $y_P$) et son ensemble de définition.
+	\begin{defn}
+		On dit qu'une équation différentielle est linéaire si ces cœfficiants sont constants.
+	\end{defn}
+	\begin{props}
+		Soit $E$ une équation différentielle linéaire.\\
+		Soient $y_1$ et $y_2$ deux solutions de $E$.
+
+		On a que toutes les équations de la forme $\lambda y_1+\mu y_2$ (avec $(\lambda,\mu)$ dans $\mathbb{R}^2$) sont aussi solutions de $E$, d'où l'appelation linéaire~!
+	\end{props}
+	\subsection{Premier ordre}
+	\begin{lititle}
+		Exercice 1 - Pour commencer
+	\end{lititle}
+	Résoudre correctement le problème de Cauchy
+	$$ (E):\quad y'+4ty=5\cos t\exp\left\{-2t^2\right\}\quad\land\quad y(0) = 5 $$
+
+	\begin{lititle}
+		Exercice 2 - Une moche devenant belle ($\dagger$)
+	\end{lititle}
+	Résoudre correctement le problème de Cauchy sur $]-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2[$
+	$$ (E):\quad y'+2(\tan t)y=2\quad\land\quad y(0)=0 $$
+	La solution de $(E)$ devra être aussi simple que possible .
+	\subsection{Second ordre}
+	\begin{lititle}
+		Exercice 3 - Un cas un peu plus général ($\dagger$)
+	\end{lititle}
+	Soit $m\in\mathbb{R}$. Résoudre l'équation différentielle
+	$$ (E):\quad y''+2y'+(1-m)y=0 $$
+	Rappeler l'équation caractéristique de $(E)$.
+
+	\begin{lititle}
+		Exercice 4 - Solution évidente
+	\end{lititle}
+	Résoudre l'équation différentielle
+	$$ (E):\quad y''+5y'-4y = 2 $$
+
+	\begin{lititle}
+		Exercice 5 - Hors programme ($\dagger$)
+	\end{lititle}
+	Trouver la solution particulière de
+	$$ (E):\quad y''+2y'+2y=3e^t\cos(2t) $$
+	La solution particulière sera de forme $\alpha\cos(2t)+\beta\sin(2t)$ avec $\alpha$ et $\beta$ deux constantes à déterminer.
+	\section{Projection et symetrie}
+	Dans cette partie, on s'intéressera au cours n'étant pas au programme du CC3.
+
+	Soit $f$ un endomorphisme linéaire (i.e. $f: X\to X$, où $X$ est un objet mathématique). On note abusivement $ff$ la composition de $f$ par $f$, i.e.
+	$$  ff = f\circ f $$
+	On utilisera aussi la notation des puissances pour ce type de composition. On a donc
+	$$ pps = p^2 s = p\circ p\circ s $$
+	\begin{warn}
+		Cette abus de notation ne rajoute en aucun cas la commutativité à la composition~!
+		$$ p^2 s \neq psp \neq sp^2 $$
+	\end{warn}
+	\subsection{Propriétés utiles}
+	\begin{lititle}
+		Exercice 1 - Une projection d'une projection reste la même projection
+	\end{lititle}
+	Cette exercice ne demande pas une démonstration formelle~: vous n'avez pas accès aux outils formelles nécessaires pour démontrer cette propriété.
+
+	Montrer que $p$ est une projection si, et seulement si, $p^2=p$.
+
+	\begin{lititle}
+		Exercice 2 - Une symétrie d'une symetrie annule la symétrie
+	\end{lititle}
+	Cette exercice ne demande pas une démonstration formelle~: vous n'avez pas accès aux outils formelles nécessaires pour démontrer cette propriété.
+
+	Montrer que $s$ est une symétrie si, et seulement si, $s^2 = \mathrm{Id}$ où $\mathrm{Id}$ est la fonction identitée ($x\longmapsto x$).
+
+	\subsection{Est-ce une projection~?}
+	\begin{lititle}
+		Exercice 3 - Un cas particulier\ldots ($\dagger$)
+	\end{lititle}
+	Soient $p,q$ deux projections tels que $pq = 0$. On pose $r = p + q - qp$. Montrez que $r$ est une projection.
+
+	\begin{lititle}
+		Exercice 4 - Du cas général ($\dagger$)
+	\end{lititle}
+	Soient $p,q$ deux projections. Montrez que $p+q$ est une projection si, et seulement si, $pq=qp=0$.
+	\appendix
+	\section{Corrections des équations différentielles}
+	\subsection{Premier ordre}
+	La rédaction sera bien détaillée que pour l'exercice 1 par flemme du correcteur.
+
+	\begin{lititle}
+		Exercice 1 - Pour commencer
+	\end{lititle}
+	$(E)$ est définie sur $\mathbb{R}$.
+
+	La solution homogène, $y_H$ est de la forme $\lambda\exp\left\{ -B(x) \right\}$ où $\lambda\in\mathbb{R}$ et $\forall x\in\mathbb{R},B(x)=\int^x b(x)\mathrm{d}x$. $x\longmapsto 2x^2$ est une forme de $B(x)$ valide. Alors
+	$$ \forall t\in\mathbb{R},\quad y_H(t) = \lambda\exp\left\{ -2t^2 \right\}\quad (\lambda\in\mathbb{R}) $$
+
+	La solution particulière $y_P$ est de forme $\lambda(t)\exp\left\{ -B(x) \right\}$ où $\lambda$ est une fonction dérivable définie sur $\mathbb{R}$. On a donc que
+	$$ \forall t\in\mathbb{R},\quad \lambda'(t)\exp\left\{ -2t^2 \right\} = 5\cos t\exp\left\{ -2t^2 \right\} $$
+	Alors
+	$$ \forall t\in\mathbb{R},\quad \lambda(t) = 5\sin(t) $$
+
+	La solution générale est ainsi
+	$$ \left\{\forall t\in\mathbb{R}, t\longmapsto \lambda\exp\left\{ -2t^2 \right\} + 5\sin t|\lambda\in\mathbb{R}\right\}$$
+	D'après les conditions de Cauchy, $y(0) = 5$, donc
+	$$ \lambda\exp\left\{ 0 \right\} + 5\sin t = 5 \iff \lambda = 5 $$
+	La solution de ce problème de Cauchy est donc :
+	$$ \left\{ \forall t\in\mathbb{R}, t\longmapsto 5\left( \exp\left\{ -2t^2 \right\} + \sin t \right)  \right\}  $$
+
+	\begin{lititle}
+		Exercice 2 - Une moche devenant belle ($\dagger$)
+	\end{lititle}
+	$(E)$ est définie sur $D=\left] -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right[ $ d'après la consigne.
+
+	La solution homogène $y_H$ est $t\longmapsto \lambda\exp\left\{ 2\ln|\cos t| \right\}$ où $\lambda\in\mathbb{R}$.
+
+	La solution particulière $y_P$ est $t\longmapsto \lambda(x)\exp\left\{ 2\ln|\cos t| \right\}$ où $\lambda$ est dérivable sur $D$. D'où, pour tout $t$ dans $D$,
+	\begin{align*}
+		\lambda'(t)\exp\left\{ 2\ln|cos t| \right\} &= 2 \\
+		\lambda'(t)\cos^2(t) &= 2 \\
+		\lambda'(t) &= \frac{2}{\cos^2 t} \\
+		&= 2\tan'(t) \\
+		\lambda(t) &= 2\tan(t) \\
+	\end{align*}
+	Alors
+	$$ \forall t\in D,\quad y_P(t) = 2\tan(t)\cos^2(t) = 2\sin(t)\cos(t) = \sin(2t) $$
+
+	La solution générale est ainsi
+	$$ \left\{ \forall t\in D,t\longmapsto \lambda\cos^2(t) + \sin(2t) \right\} $$
+	D'après les conditions de Cauchy, $y(0) = 0$, donc
+	$$ y(0) = \lambda\cos^2(0) + \sin(0) = 0 \iff \lambda = 0 $$
+	La solution de ce problème de Cauchy est donc :
+	$$ \left\{ \forall t\in D,t\longmapsto \sin(2t) \right\}  $$
+	\subsection{Deuxième ordre}
+	\begin{lititle}
+		Exercice 3 - Un cas un peu plus général ($\dagger$)
+	\end{lititle}
+	$(E)$ est définie sur $\mathbb{R}$.
+
+	L'équation caractéristique de $(E)$ est $r^2+2r+1-m$. Donc $\Delta = 4m$.
+
+	\fbox{Si $m>0$} On a $\Delta > 0$. Ainsi $r_1 = -1+\sqrt m$ et $-1-\sqrt m$.
+
+	L'ensemble solution de $(E)$ est $$ \left\{ \forall t\in\mathbb{R},t\longmapsto \lambda\exp\left\{ (-1+\sqrt m)t \right\}+\mu\exp\left\{ (-1-\sqrt m)t \right\}, (\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2 \right\}  $$
+
+	\fbox{Si $m=0$} On a $\Delta = 0$. Ainsi $r_1 = r_2 = r -1$.
+
+	L'ensemble solution de $(E)$ est $$ \left\{ \forall t\in\mathbb{R},t\longmapsto (\lambda+\mu t)e^{-t} \right\} ,(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2 $$
+
+	\fbox{Si $m<0$} On a $\Delta < 0$. Ainsi $r = -1+i\sqrt m$ et $\bar r = -1-i\sqrt m$.
+
+	L'ensemble solution de $(E)$ est $$ \left\{ \forall t\in\mathbb{R}, t\longmapsto e^{-t}\left( \lambda\cos\sqrt{-m}+\mu\sin\sqrt{-m} \right), (\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2  \right\}  $$
+
+	\begin{lititle}
+		Exercice 4 - Solution évidente
+	\end{lititle}
+	$(E)$ est définie sur $\mathbb{R}$.
+
+	L'équation caractéristique de $(E)$ est $r^2+5r-4=0$. Donc $\Delta = 41$.
+
+	On a $$ \forall t\in\mathbb{R},\quad y_H(t) = \lambda\exp\left\{ \frac{-5-\sqrt{41}}{2} t \right\} +\mu\exp\left\{ \frac{-5+\sqrt{41}}{2} t \right\}  $$
+	où $\lambda$ et $\mu$ sont des constantes réelles.
+
+	Comme le second membre est constant, on a que $y_P(t) = -0.5$ pour tout $t\in\mathbb{R}$. Pour s'en convaincre, il suffit de réinjecter $y_P$ dans $(E)$.
+
+	Ainsi, l'ensemble solution est
+	$$ \left\{ \forall t\in\mathbb{R},t\longmapsto \lambda\exp\left\{ \frac{-5-\sqrt{41}}{2} t \right\} +\mu\exp\left\{ \frac{-5+\sqrt{41}}{2} t \right\}-0.5,(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2 \right\}  $$
+
+	\begin{lititle}
+		Exercice 5 - Hors programme ($\dagger$)
+	\end{lititle}
+	\section{Corrections des projections et symétries}
+	\subsection{Propriétés utiles}
+	\begin{lititle}
+		Exercice 1 - Une projection d'une projection reste une projection
+	\end{lititle}
+	Soit $p$ une projection telle que $p(x+y) = x$ pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$. On a que $p^2(x) = p(p(x+y)) = p(x) = x$. La propriété est donc vérifiée pour $p$.
+
+	Graphiquement, cette propriété est évidente~: si on projette $M$ sur une axe donnant ainsi $M_x$, alors reprojetter $M_x$ sur ce même axe ne change pas $M_x$.
+
+	Si vous voulez la démonstration formelle, \href{mailto:william.herges@etu.sorbonne-universite.fr}{envoyez moi un mail}
+
+	\begin{lititle}
+		Exercice 2 - Une symétrie d'une symetrie annule la symétrie
+	\end{lititle}
+	Soit $s$ une symétrie telle que $s(x+y) = x-y$ pour tout $(x,y)\in\mathbb{R}^2$. On a que $s(s(x-y)) = s(x-y) = x+y$. La propriété est donc vérifiée pour $s$.
+
+	Graphiquement, cette propriété est aussi évidente~: si on prend le symétrique de $M$ noté $M'$ par rapport à un axe puis si on reprend le symétrique de $M'$ par rapport au même axe, on obtient $M$.
+
+	Si vous voulez la démonstration formelle, \href{mailto:william.herges@etu.sorbonne-universite.fr}{envoyez moi un mail}
+	\subsection{Est-ce une projection~?}
+	\begin{lititle}
+		Exercice 3 - Un cas particulier\ldots ($\dagger$)
+	\end{lititle}
+	On a
+	\begin{align*}
+		r^2 &= (p+q-qp)(p+q-qp) \\
+		&= p^2 + pq - pqp + qp + q^2 - q^2p - qp^2 - pqp + qpqp \\
+		&= p + 0 - 0p + qp + q - 2qp - 0p + 0 \\
+		&= p + q - qp \\
+		&= r
+	\end{align*}
+	D'après l'exercice 1, on a que $r$ est bien une projection.
+	
+	\begin{lititle}
+		Exercice 4 - Du cas général ($\dagger$)
+	\end{lititle}
+	On procède par double implication ici.
+
+	\fbox{$\implies$} On suppose que $p+q$ est une projection. Donc 
+	$$(p+q)^2 = p+q \quad\iff\quad p^2+pq+qp+q^2 = p+q \quad\iff\quad pq+qp = 0$$
+	En composant par $p$ à droite, on a : $$ p^2q+pqp = 0\quad\iff\quad pq = -pqp$$
+	En composant par $p$ à gauche, on a : $$ pqp+qp^2 = 0\quad\iff\quad qp = -pqp $$
+	Donc $$ pq = qp = -pqp\quad\land\quad pq+qp = 0 $$
+	Ce qui nous donne bien que $pq = qp = 0$.
+
+	\fbox{$\impliedby$} On suppose que $pq=qp=0$. Donc
+	\begin{align*}
+		(p+q)^2 &= p^2+qp+qp+q^2 \\
+		&= p+q
+	\end{align*}
+	Ce qui nous donne bien que $p+q$ est une projection.
+\end{document}
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+
+\usepackage{LobsterTwo}
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+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{Khôlle 1 - Un peu de formalisme}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Universite}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\tableofcontents
+	\newpage
+	\section{Un peu de formalisme}
+	Durant cette khôlle (ou colle, mais je préfère les mots pseudo-latin), je vais demander une rédaction particulièrement rigoureuse. Ce formalisme est ensentiel pour démontrer formalement des propositions et des théorèmes.
+	\subsection{Assertion, proposition et théorème}
+	Une assertion est un énoncé vrai ou faux, e.g. $\pi$ est un irrationnel (démonstration complexe mais faisable en fin de Terminal~: devoir maison des MPSI d'Henri-IV durant les vacances d'été précédent leur première année et devoir sur table des MP2I/MPSI à Saint-Louis vers janvier).
+
+	Une énoncé indiquant la vérité d'une assertion est une proposition ou un théorème. Ce dernier est juste une proposition importante.
+
+	Une propriété est une assertion détaillant les éléments fondamentaux découlant d'une définition. Toutes sommes de fonctions continues est continue est une propriété et une proposition.
+	\subsection{Quantification}
+	Tous les éléments doivent être quantifiés à l'aide de quantifieurs ($\forall$, $\exists$, $\exists!$, «~Soit~», etc.). Un élément non quantité est une faute de rigueur car noous ne savons pas dans quelle condition nous pouvons l'utiliser.
+
+	Par exemple, nous n'écrirons pas $$f(x)=2x\cos(x)$$ car nous ne quantifions pas $x$ ici. Nous écrirons plutôt : $$ \forall x\in D,\quad f(x)=2x\cos(x) $$ où $D$ est un ensemble sur lequel $f$ est définie.
+	\section{Logique}
+	On admet la proposition suivante :
+	$$ \exists x\in\varnothing,\quad P $$
+	est toujours fausse pour toute assertion $P$.
+
+	Démontrer que $$ \forall x\in\varnothing, P $$ où $P$ une assertion, est toujours vraie.
+	\section{Rigueur en démonstration}
+	Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ telle que $u_1 = 1$ et :
+	$$ \forall n\in\mathbb{N}^*,\quad u_{2n} = 2u_n\quad\land\quad \forall n\in\mathbb{N}^*,\quad u_{2n+1}=u_{n+1}+u_n $$
+	Démontrer que pour tout naturel $n$ non nul, $u_n = n$
+	\section{Intégration}
+	Démontrer rigoureusement l'intégration par partie (et la primitivisation par partie).
+	\section{Limite suite}
+	Calculer le $\mathrm{DL}_0(3)$ de $x\longmapsto e^{\cos x}$.
+	\section{Newton}
+	Démontrer le binôme de Newton, i.e. pour tout $(a,b)\in\mathbb{C}^2$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ on a :
+	$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} a^{k}b^{n-k} $$
+\end{document}
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