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diff --git a/semestre 1/maths/1-rappels/cours.tex b/semestre 1/maths/1-rappels/cours.tex new file mode 100644 index 0000000..8ed0893 --- /dev/null +++ b/semestre 1/maths/1-rappels/cours.tex @@ -0,0 +1,291 @@ +%%===================================================================================== +%% +%% Filename: cours.tex +%% +%% Description: +%% +%% Version: 1.0 +%% Created: 03/06/2024 +%% Revision: none +%% +%% Author: YOUR NAME (), +%% Organization: +%% Copyright: Copyright (c) 2024, YOUR NAME +%% +%% Notes: +%% +%%===================================================================================== +\documentclass[a4paper, titlepage]{article} + +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{textcomp} +\usepackage[french]{babel} +\usepackage{amsmath, amssymb} +\usepackage{amsthm} +\usepackage[svgnames]{xcolor} +\usepackage{thmtools} +\usepackage{lipsum} +\usepackage{framed} +\usepackage{parskip} +\usepackage{titlesec} + +\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} + +% figure support +\usepackage{import} +\usepackage{xifthen} +\pdfminorversion=7 +\usepackage{pdfpages} +\usepackage{transparent} +\newcommand{\incfig}[1]{% + \def\svgwidth{\columnwidth} + \import{./figures/}{#1.pdf_tex} +} + +\pdfsuppresswarningpagegroup=1 + +\colorlet{defn-color}{DarkBlue} +\colorlet{props-color}{Blue} +\colorlet{warn-color}{Red} +\colorlet{exemple-color}{Green} +\colorlet{corol-color}{Orange} +\newenvironment{defn-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{defn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{warn-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{warn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{exemple-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{exemple-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + 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preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{warn-leftbar},% + postfoothook=\end{warn-leftbar},% +]{better-warn} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% +notebraces={}{},% +headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{exemple-color}Exemple~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{exemple-leftbar},% + postfoothook=\end{exemple-leftbar},% +]{better-exemple} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{props-color}Proposition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},% + postfoothook=\end{props-leftbar},% +]{better-props} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{props-color}Théorème~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},% + postfoothook=\end{props-leftbar},% +]{better-thm} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{corol-color}Corollaire~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{corol-leftbar},% + postfoothook=\end{corol-leftbar},% +]{better-corol} + +\declaretheorem[style=better-defn]{defn} +\declaretheorem[style=better-warn]{warn} +\declaretheorem[style=better-exemple]{exemple} +\declaretheorem[style=better-corol]{corol} +\declaretheorem[style=better-props, numberwithin=defn]{props} +\declaretheorem[style=better-thm, sibling=props]{thm} +\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection] +%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn] + +\newenvironment{system}% +{\left\lbrace\begin{align}}% +{\end{align}\right.} + +\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}} + +\usepackage{LobsterTwo} +\titleformat{\section}{\newpage\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{} +\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{} +\titleformat{\subsubsection}{\vspace{1em}\LobsterTwo \large\bfseries}{\thesubsubsection.}{1em}{} + +\newenvironment{lititle}% +{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}% +{\\} + +\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}} + +\title{Rappels} +\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}} + +\begin{document} + \maketitle + \tableofcontents + \newpage + Rappels en vrac. + \section{Vecteur} + \subsection{Norme d'un vecteur} + \begin{defn} + La norme du vecteur $\vec v$ se note $||\vec v||$ et $$||\vec v||=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2+(z_b-z_a)^2}$$ + \end{defn} + \subsection{Produit scalaire} + \begin{defn} + Le produit scalaire entre $\vec v$ et $\vec u$ se note $\vec v\cdot\vec u$ et $$\vec v\cdot\vec u=||\vec u||\times||\vec v||\cos\alpha$$ + \end{defn} + \begin{props} + Pour tous vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$, on a : + \begin{itemize} + \item $\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot \vec u$ + \item $\forall \lambda\in\mathbb{R},\quad(\lambda\vec u)\cdot\vec v = \lambda\cdot(\vec u\vec v)$ + \item $(\vec u+\vec v)\vec w = \vec u\vec w+\vec w\vec v$ + \end{itemize} + \end{props} + \begin{proof} + \AQT + \end{proof} + \begin{props} + Pour tous vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, on a : + \begin{itemize} + \item $||\vec u+\vec v||^2 = (\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)$ + \item $||\vec u-\vec v||^2 = (\vec u-\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)$ + \end{itemize} + \end{props} + \begin{proof} + \AQT + \end{proof} + \subsubsection{Produit scalaire dans une bose orthonormée} + \begin{defn} + Un vecteur est alors caractérisé par trois coordonnées (qui sont celles du point d'arrivé si le vecteur part du point d'origine). On peut alors écrire : + $$ \vec u = x\vec i+y\vec j+z\vec k $$ + (où $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ sont les coordonnées du vecteur $\vec u$ et $(\vec i,\vec j, \vec k)$ une base) + \end{defn} + \begin{props} + Pour deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, on a : + $$ \vec u\cdot\vec v = xx'+yy'+zz' $$ + (où $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$ sont les coordonnées de $\vec u$ et $(x',y',z')$ sont les coordonnées de $\vec v$) + \end{props} + \begin{proof} + \AQT + \end{proof} + \subsection{Produit vectoriel} + \begin{defn} + Soient $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs dans une base orthonormée. + + Le produit vectoriel de $\vec v$ par $\vec u$ est noté $ \vec u\land \vec v$ et est le vecteur perpendiculaire à $\vec u$ et à $\vec v$ de norme $u\times v\times\sin\alpha$ (où $\alpha$ est l'angle entre $\vec u$ et $\vec v$) dirigé selon "la règle de la main droite". + \end{defn} + \begin{props} + On a : + $$ + \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \land \begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} = + \begin{pmatrix} yz'-zy'\\zx'-xz'\\xy'-yx' \end{pmatrix} + $$ + \end{props} + \begin{proof} + \AQT (besoin de linéarité comme lemme) + \end{proof} + \begin{warn} + $\vec u\land\vec v = -\vec v\land\vec u$ + \end{warn} + \begin{lititle} + Application principale + \end{lititle} + Il sert à obtenir un vecteur orthogonal à deux autres. + \section{Droites et plans} + \subsection{Droites} + \begin{defn} + Une droite $\Delta$ dirigée par $\vec u = \begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}$ passant par $A=(a,b)$ est l'ensemble des points $P$ sastisfaisant cette relation : + $$ \forall M\in P,\quad\exists k\in\mathbb{R},\quad \overrightarrow{AM} = k\vec u $$ + \end{defn} + \begin{props}[Équations paramétriques] + Une droite $\Delta$ dirigée par $\begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}$ passant par $(a,b)$ possède comme équations paramétriques : + $$\begin{system} + x=a+t\alpha\\ + y=b+t\beta + \end{system},\quad (t\in\mathbb{R})$$ + pour un point de coordonnées $(x,y)$ appartenant à $\Delta$. + \end{props} + \begin{proof} + \AQT + \end{proof} + \begin{props}[Équation cartésienne] + Une droite $\Delta$ dirigée par $\begin{pmatrix} \alpha\\\beta \end{pmatrix}$ passant par $(a,b)$ possède comme équation cartésienne : + $$ y-\frac{\beta}{\alpha}x=b-\frac{a\beta}{\alpha} $$ + pour un point de coordonnées $(x,y)$ appartenant à $\Delta$. + \end{props} + \begin{proof} + \AQT + \end{proof} + C'est la même chose dans $\mathbb{R}^3$. + \subsection{Plans} + \begin{props}[Équations paramétriques] + Soit $\Pi$ le plan passant par $A=(a,b,c)$ et dirigé par $\vec v = \begin{pmatrix} \alpha\\\beta\\\gamma \end{pmatrix}$ et par $\vec u = \begin{pmatrix} \alpha'\\\beta'\\\gamma' \end{pmatrix}$ possède comme équation paramétrique : + $$\begin{system} + x=a+t\alpha+s\alpha'\\ + y=b+t\beta+s\beta'\\ + z=c+t\gamma+s\gamma' + \end{system},\quad (t,s\in\mathbb{R})$$ + pour un point de coordonnées $(x,y,z)$ appartenant à $\Pi$. + \end{props} + \begin{proof} + \AQT + \end{proof} + \begin{props} + Soit $\Pi$ un plan passant par $A$ et dirigée par $\vec u$ et $\vec v$.\\ + Soit $P$ un point de $\Pi$. + + Le vecteur $\overrightarrow{AP}$ est orthogonal à $\vec w$ (où $\vec w$ est un vecteur orthognal à $\vec u$ et $\vec v$). + + Autrement dit, $$ \overrightarrow{AP}\cdot (\vec u\land\vec v) = 0 $$ + \end{props} + \begin{proof} + \AQT + \end{proof} + Cela permet d'obtenir l'équation cartésienne du plan. + \section{Familles libres, familles liées} + \begin{defn} + Une famille de $n$-vecteurs $(\vec u_1,\ldots,\vec u_n)\in\mathbb{R}^n$ est libre si, et seulement si, ces vecteurs sont linéairement indépendant. i.e. + $$ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i\vec u_i = \vec 0\iff \forall i\in[|1,n|],\quad\lambda_i = 0 $$ + avec $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{R}^n$. + \end{defn} + \begin{defn} + Une famille de $n$-vecteurs est liée si, et seulement si, elle n'est pas libre. + \end{defn} +\end{document} |