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\title{Correction TD Complexes}
\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Exercice 1 compléments}
On a :
\begin{align*}
z_1 &= 5+12i \\
&= (a+ib)^2 \\
&= a^2-b^2+2ab
\end{align*}
Alors :
\begin{align*}
a^2-b^2 &= 5 \\
2ab &= 12 \\
a^2+b^2 &= |z_1| = 13
\end{align*}
En faisant $(1)+(3)$ et $(3)-(1)$, on obtient que :
\begin{align*}
a^2 &= 9 \\
b^2 &= 4 \\
ab &= 6
\end{align*}
Ainsi, $a$ et $b$ sont de même signe. Donc :
$$ \{-3-2i;3+2i\} $$
est l'ensemble solution de $z^2=\delta$.
\section*{Exercice 2 compléments}
On a :
\begin{align*}
z^3 &= 2-2i \\
&= 2(1-i)\\
&= 2\sqrt 2e^{\frac{i\pi}{4}}
\end{align*}
Donc :
\begin{align*}
z &= \sqrt 2\left( e^{\frac{i\pi}{4}} \right)^{\frac{1}{3}} \\
&= \sqrt 2\left( e^{\frac{i\pi}{4}+2k\pi} \right)^{\frac{1}{3}},\quad k\in\mathbb{Z} \\
&= \sqrt 2e^{\frac{i\pi}{12}+\frac{2}{3}k\pi},\quad k\in\mathbb{Z} \\
\end{align*}
Comme les angles sont périodiques sur $2k\pi$, on a que toutes les solutions sont couvertes par $k\in[|0;2|]$. Ainsi :
$$ \left\{\sqrt 2e^{\frac{i\pi}{12}+\frac{2}{3}k\pi},k\in[|0;2|]\right\} $$
\end{document}
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