path: root/semestre 2/maths/6- Variables aléatoires/cours.tex

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\title{Variables aléatoires}
\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}

\begin{document}
	\maketitle
	\tableofcontents
	\newpage
	\section{Variables aléatoires discrètes}
	Souvent il est très compliqué de déterminer une loi de probabilité. On introduit donc les variables aléatoires pour régler ce problème.

	Dans le cas d'un lancer de dé, on a :
	$$ \Omega = \{(i,j)|(i,j)\in\{1,\ldots,6\}^2\} = \{1,\ldots,6\}^2 $$
	Ça donne beaucoup de possibilités, on va donc introduire la notion de variables aléatoires pour résoudre ce problème.

	\subsection{Définitions}
	\begin{defn}
		Soit $D$ un ensemble.

		On dit que $D$ est dénombrable si et seulement si~:
		\begin{itemize}
			\item il existe une bijection entre $\mathbb{N}$ et $D$
			\item ou il est fini (son cardinal est différent de $\infty$)
		\end{itemize}
	\end{defn}

	\begin{defn}
		Soit $(\Omega,\mathbb{P})$ un ensemble probabilisé et $D$ un ensemble dénombrable.

		Alors, $X$ défini tel que~:
		$$ X:\Omega \to D $$
	\end{defn}
	$X$ est donc une fonction.

	\begin{defn}
		La loi de probabilité $Q$ de $X$ est définie telle que~:
		$$\begin{matrix}
			\mathcal{P}(D) &\to &[0;1]\\
			A & \longmapsto & \mathbb{P}(X^{-1}(A)) = \mathbb{P}(X\in A)
		\end{matrix}$$
	\end{defn}
	$(D,Q)$ forme un espace probabilisé.
	
	Écrire $X\in A$ est étrange, car cela veut dire que $X$, une application, appartient à n'importe quelle ensemble.

	On a donc que $Q$ est une nouvelle probabilité fonctionnant comme les autres.
	Il suffit donc de connaître $Q(\{K\})$ pour tout $k$ dans $D$ pour pouvoir déterminer la variable aléatoire.

	\begin{props}
		On a~:
		$$ Q(A) = \mathbb{P}(X\in A) = \sum_{k\in A} \mathbb{P}(X=k) $$
	\end{props}
	On se réduit donc à connaître la probabilité que $X=k$, ce que l'on note $p_k$.

	On a~:
	$$ \sum_{k\in D} p_k = 1 $$

	\begin{exemple}
		Si on reprend l'exemple du dé en introduction, on a que la probabilité d'avoir $p_2$ (c'est-à-dire que la somme de $i+j$ vaut $2$) est de $1/36$.
	\end{exemple}

	\subsection{Lois usuelles}
	\begin{defn}
		On dit que $X$ suit la loi uniforme si, et seulement si, $X$ ne prend qu'une unique valeur.

		On note~:
		$$ X\sim\mathcal{U}(n) $$
		où $n$ représente le nombre de valeur prise par $X$.
	\end{defn}

	\begin{defn}
		On dit que $X$ suit la loi de Bernoulli si, et seulement si, $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$ et que $p$ est la réussite, alors $q$, l'échec, vaut $1-p$.

		On note~:
		$$ X\sim\mathcal{B}(p) $$
	\end{defn}

	\begin{exemple}
		Soit $\Omega = \{0, 1, 2, 3\}$ et $D = \{0, 1\}$ (on a donc que $D\subseteq \Omega$) où $\mathbb{P}(0\cup 1) = 1$.\\
		Donc, $p_0+p_1 = 1$ et $p_0 = 1- p_1$ car $p_0\in[0;1]$.\\
		On a donc que $X:\Omega \to D$ suit la loi de Bernoulli. Si $p_1 = 1/2$, alors on dira que $X$ suit une loi uniforme (et que $p_0 = p_1$).
	\end{exemple}
	Pour dire que $X$ suit la loi de Bernoulli, on écrit $\mathcal{B}(p)$.
	Pour dire que $X$ suit la loi uniforme, on écrit $\mathcal{U}(2)$ (d'une manière générale, $2$ est remplaçable par $n\in\mathbb{N}^*$).

	\begin{defn}
		On dit que $X$ suit la loi binomiale si, et seulement si, elle est composée d'une somme de variable aléatoire $(X_n)$, où $n$ est fixé, suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$ fixé.

		On note~:
		$$ X\sim\mathcal{B}(n,p) $$
	\end{defn}
	On a que $X$ est le nombre de succès rencontré après avoir rencontré $n$ épreuves de Bernoulli de probabilité de succès $p$.

	\begin{props}
		On a que pour tous les $p_k$ de $X$ d'une variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètre $n$ et $p$~:
		$$ \forall k\in D,\quad p_k = \mathcal{C}^k_n p^k(1-p)^{n-k} $$
	\end{props}
	\begin{proof}
		On a~:
		$$ \forall k\in D,\quad p_k = \mathcal{C}^k_n p^k(1-p)^{n-k} $$
		D'après le binôme de Newton, on a~:
		$$ \sum_{k\in D} p_k = (p-(p-1))^{n} = 1 $$
	\end{proof}

	\begin{defn}
		On dit que $X$ suit la loi de Poisson si, et seulement si, pour $\lambda\in\mathbb{R}^*_+$ fixé et pour tout $k\in D$ (où $D=\mathbb{N}$ ici), on a~:
		$$ p_k = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} $$

		On note~:
		$$ X\sim\mathcal{P}(\lambda) $$
	\end{defn}
	\begin{proof}
		On a~:
		$$ \sum_{k\in\mathbb{N}} p_k = \sum_{k\in\mathbb{N}} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda}\sum_{k\in\mathbb{N}} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1 $$
		par définition de $\exp\{\lambda\}$.
	\end{proof}
	
	\subsection{Espérence et variance}
	\begin{defn}
		On définit l'espérence de $X$ par~:
		$$ E(X) = \sum_{k\in D} kp_k $$
	\end{defn}
	Permet de calculer ce qu'on peut espérer de $X$.

	\begin{defn}
		On définit la variance de $X$ par~:
		$$ \sigma^2(X) = \mathrm{Var}(X) = \sum_{k\in D} (k-E(X))^2p_k $$
	\end{defn}
	Permet de mesurer à quel point on peut s'écarter de l'espérence.

	\begin{props}
		On a~:
		$$ \mathrm{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2 $$
	\end{props}

	\begin{thm}
		Si $X$ suit la loi uniforme de paramètre $n$ avec $D=[1,n]$, alors~:
		$$ E(X) = \frac{n+1}{2} $$
		et
		$$ \mathrm{Var}(X) = \frac{n^2-1}{12} $$
	\end{thm}

	\begin{thm}
		Si $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$, alors~:
		$$ E(X) = p $$
		et
		$$ \mathrm{Var}(X) = p(1-p) $$
	\end{thm}

	\begin{thm}
		Si $X$ suit la loi binomiale de paramètre $n$ et $p$, alors~:
		$$ E(X) = np $$
		et
		$$ \mathrm{Var}(X) = np(1-p) $$
	\end{thm}

	\begin{thm}
		Si $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, alors~:
		$$ E(X) = \lambda $$
		et
		$$ \mathrm{Var}(X) = \lambda $$
	\end{thm}
\end{document}