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\title{TD du 13 mars}
\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
\begin{document}
\maketitle
\section{Feuille 6}
\subsection*{Exercice 2}
On a : $$\mathrm{det}(A-\lambda I) = -\lambda^3+73\lambda-72 = 0$$
$\lambda = 1$ est une racine évidente. Pour trouver les autres, on se débrouille avec ça~:
$$ P(x) = (x-1)(ax^2+bx-c) $$
(ça nous donne $\lambda = 8$ et $\lambda = 9$)\\
Les sous-espaces propres pour $\lambda = -9$ est défini par tous les $u$ tels que $(A+9)u = 0$. On utilise un pivot de Gauss et un système. On fait la même pour les autres valeurs de $\lambda$.
\subsection*{Exercice 3}
\begin{enumerate}
\item Elle n'est pas diagonalisable, car la valeur propre $\pi$ est de multiciplité $3$ et que la matrice n'est pas nulle.
\item Le déterminent est donné par le produit des cœfficiants de la diagonale. On a donc que les valeurs propres, sont celles de la diagonale. Ainsi, elles sont $1$, $2$ et $3$. Elle est donc diagonalisable car elle possède 3 valeurs propres réelles.
\item Dans les deux cas, on a que $a$ et $b$ sont des valeurs propres (où $a$ est de multiplicité 1 puis 2, et $b$ est de 2 puis 1). Aucune de ces matrices ne sont diagonalisables, car la dimension du noyau vaut à chaque fois 2.
\item À faire avec la «~nouvelle méthode~».
\item À faire avec la «~nouvelle méthode~».
\end{enumerate}
\begin{lititle}
Méthode pour trouver les valeurs propres rapidement
\end{lititle}
Comme les valeurs propres d'une matrice échelonnée (i.e. triangulaire) sont les cœfficiants de la diagonale, alors, pour les déterminer, on peut~:
\begin{itemize}
\item échelonner la matrice avec le pivot de Gauss (on sait le faire facilement et rapidement)~;
\item en déduire les cœfficiants.
\end{itemize}
Cette méthode semble plus rapide, car déterminer le noyau de $A-\lambda_iI_n$ pour tout $(\lambda_i)$ et pour toute matrice $A$ de taille $n$ est beaucoup plus long et complexe.
\subsection*{Exercice 6}
Semble pertinent et sympa
\subsection*{Exercice 7}
Semble pertinent et sympa
\subsection*{Exercice 9}
Semble pertinent et sympa
\end{document}
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