path: root/semestre 2/maths/1-calcul matriciel/cours.tex

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\title{Calcul matriciel}
\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}

\begin{document}
	\maketitle
	\tableofcontents
	\newpage
	\section{Définition}
	\begin{defn}
		Une matrice est un l'ensemble de nombre $\{a_{p,q}\in E, p,q\in \mathcal{SN}\}$ où $\mathcal{SN}$ est un intervale de $\mathbb{N}^*$. On note l'ensemble de ces matrices $\mathcal{M}_{p,q}(E)$.
	\end{defn}
	\begin{defn}
		Une matrice carrée est l'ensemble des matrices $\mathcal{M}_{k,k}(\mathbb{K})$ ($k\in\mathbb{N}^*$).

		On utilise l'abus de notation $\mathcal{M}_k(\mathbb{K})$ pour parler des matrices carrées d'ordre $k\in\mathbb{N}^*$.
	\end{defn}
	\subsection{Opérations}
	\begin{defn}[Somme de matrices]
		Une somme de matrice est la somme  des nombres des matrices.

		Si on note $(a_{p,q})$ les nombres de la matrice $A$ et $(b_{p,q})$ les nombres de la matrice $B$, alors
		$$ A+B = \{a_{p,q}+b_{p,q},p,q\in\mathcal{SN}\} $$

		Alors :
		$$ \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,q} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{p,1} & \cdots & a_{p,q} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{1,1} & \cdots & b_{1,q} \\ \vdots & & \vdots \\ b_{p,1} & \cdots & b_{p,q} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} + b_{1,1} & \cdots & a_{1,q} + b_{1,q} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{p,1} + b_{p,1} & \cdots & a_{p,q} + b_{p,q} \end{pmatrix} $$
	\end{defn}
	\begin{defn}[Produit externe]
		Soit $A\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})$ et $t\in\mathbb{K}$.

		On a :
		$$ t A = (ta_{p,q})_{p,q\in\mathcal{SN}} $$
	\end{defn}
	\begin{props}
		On a :
		\begin{itemize}
			\item $s(tA) = t(sA)$
			\item $t(A+B) = tA+tB$
			\item $(t+s)A = tA+sA$
		\end{itemize}
		pour $t,s\in\mathbb{K}$ et $A,B\in\mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})$.
	\end{props}
	\begin{proof}
		\AQT
	\end{proof}
	\begin{props}
		L'élément neutre pour l'addition est $\tilde 0$, i.e. l'ensemble $(a_{p,q})_{p,q\in\mathcal{SN}} = 0$.
	\end{props}
	\begin{proof}
		\AQT
	\end{proof}
	\begin{defn}[Produit matriciel]
		Soient $p,q,r\in\mathbb{N}^*$. Soient $A\in\mathcal{M}_{p,r}(\mathbb{K})$ et $B\in\mathcal{M}_{r,q}(\mathbb{K})$.

		Le produit $AB$ est :
		$$ \forall (i,k)\in[|1,p|]\times[|1,q|],\quad (ab)_{i,k} = \sum_{j=1}^{r} a_{i,j}b_{j,k} $$
	\end{defn}
	\begin{warn}
		On a besoin que le nombre de colonnes de la matrice $A$ soit égal au nombre de lignes de la matrice $B$.
	\end{warn}
	C'est une forme de produit scalaire !
	\section{Matrices spéciales}
	\begin{defn}
		Une matrice de $\mathcal{M}_{p}(\mathbb{K})$ est dite diagonale si et seulement si :
		$$ \forall (i,j)\in[|1,p|]^2,\quad i\neq j \implies a_{i,j} = 0 $$
	\end{defn}
	\begin{props}
		La multiplication matricielle des matrices diagonales est commutative et se fait très simplement.
	\end{props}
	\begin{props}
		L'élément neutre de $M_p(\mathbb{K})$ est la matrice diagonale notée $I_p$ telle que :
		$$ \forall (i,j)\in[|1,p|]^2,\quad i=j\implies 1 $$
	\end{props}
	\begin{defn}
		On note $A^{-1}$ la matrice inverse de $A$, i.e.
		$$ A A^{-1} = A^{-1} A = I_p $$
	\end{defn}
	\begin{thm}
		Soit $A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{K})$.

		$A^{-1}$ existe si et seulement si :
		$$ ad-bc = 0 $$
		où $A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}, a,b,c,d\in\mathbb{K}$

		Ainsi,
		$$ A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix} $$
	\end{thm}
	\begin{lititle}
		Mais qu'est-ce $ad-bc$ ?
	\end{lititle}
	Il s'agit d'un déterminant de la matrice $A$. C'est une notion essentielle que l'on retrouve partout en maths.

	\begin{thm}
		Si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $AB$ l'est aussi et :
		$$ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} $$
	\end{thm}
	\section{Système linéaire}
	\begin{thm}
		On peut remplacer un système linéaire à $x$ inconnu par une matrice $A\in\mathcal{M}_{x}$ contenant les coefficiants, $X\in\mathcal{M}_{x,1}$ contenant les inconnues et $B\in\mathcal{M}_{x,1}$ contenant les résultats. On a alors :
		$$ AX=B $$

		Si $A$ est inversible, alors il existe une unique solution à ce système linéaire tel que :
		$$ X=A^{-1}B $$
	\end{thm}
	\begin{exemple}
		Le système 
		\begin{align*}
			a_{1,1}x_1 &+ a_{1,2}x_2 + \ldots + a_{1,p}x_p &= b_1\\
			\vdots& &= \vdots \\
			a_{p,1}x_1 &+ a_{p,2}x_2 + \ldots + a_{p,p}x_p &= b_p
		\end{align*}
		est équivalent à
		$$ \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&\ldots&a_{1,p}\\\vdots&&&\vdots\\a_{p,1}&a_{p,2}&\ldots&a_{p,p} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\\vdots\\b_p \end{pmatrix}  $$
	\end{exemple}
	\begin{lititle}
		Opérations élémentaires
	\end{lititle}
	Ce sont les opérations qui ne font perdre aucune information au système. Il y a :
	\begin{itemize}
		\item permutation de deux lignes, notée $P_{i_1 \to i_2}$ (échange des lignes $i_1$ et $i_2$)
		\item dilatation d'une ligne, notée $D_{i,\alpha\in\mathbb{R}^*}$ (dilatation de la ligne $i$ par $\alpha$)
		\item transvection (somme de deux lignes), notée $T_{i_1,i_2,t\in\mathbb{R}}$ (transvection de la ligne $i_1$ par $i_2$ avec comme facteur $t$)
	\end{itemize}
	C'est-à-dire, on peut faire des combinaisons linéaires !
	
	Faire cette opération, c'est équivalent à multiplier par une matrice carrée inversible.

	Par exemple, pour $P_{2\to 3}$, on a la matrice :
	$$ \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&0&1\\0&1&0 \end{pmatrix}  $$
	ou $D_{2, \alpha\in\mathbb{R}^*}$ est :
	$$ \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&\alpha&0\\0&0&1 \end{pmatrix}  $$
	ou encore $T_{2,3,t}$ est :
	$$ \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&t\\0&0&1 \end{pmatrix}  $$
	\begin{thm}
		Si $r$ est le rang de $A|B$ (voir le pivot de Gauss), si $p$ est le nombre de colonnes de $A$ et $q$ le nombre de lignes de $A$, alors :
		\begin{itemize}
			\item si $r=p$, alors pour tout $B$ il existe une solution (existence)
			\item si $r=q$, alors il existe une unique solution (unicité)
		\end{itemize}
	\end{thm}
	\section{Déterminent}
	\begin{thm}
		$A$ est inversible si et seulement si le rang de $A$ est égal au nombre de colomnes (et de lignes) et si et seulement si le déterminent de $A$ est différent de 0. (On note $\mathrm{det}(A)$ le déterminent de $A$.)
	\end{thm}
	\begin{props}
		On a :
		\begin{itemize}
			\item $\mathrm{det}(D)$, où $D$ est une matrice diagonale, est la multiplication des coefficiants de la diagonale
			\item $\mathrm{det}(T)$, où $T$ est une matrice triangulaire, est aussi la multiplication des coefficiants de la diagonale
			\item si on multiplie une colonne par $\alpha$, alors $\mathrm{det}(A') = \alpha\mathrm{det}(A)$ (pour tout $\alpha$) 
			\item le déterminent ne change pas avec une transvection ou une transposée
		\end{itemize}
	\end{props}
	Ces propriétés suffisent à calculer tous les déterminents

	\begin{exemple}
		Calculons le déterminent de $\small\begin{pmatrix} 1&3\\2&1 \end{pmatrix}$.
		\begin{align*}
			\mathrm{det}\begin{pmatrix} 1&3\\2&1 \end{pmatrix} &= \mathrm{det}\begin{pmatrix} 1&3\\0&-5 \end{pmatrix}  \\
										 &= -5\times\mathrm{det}\begin{pmatrix} 1&3\\0&1 \end{pmatrix}  \\
										 &= -5\times\mathrm{det}\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}  \\
										 &= -5 
		\end{align*}
	\end{exemple}
\end{document}