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\title{Intégration}
\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Définitions et théorèmes fondamentaux}
\begin{defn}
L'intégration de la fonction $f: [a,b]\to \mathbb{R}$ est l'aire de la région sous la courbe de $f$ et l'axe des absisses. On note ce nombre $$ \int^b_af(x)\mathrm{d}x $$
L'aire sous la courbe est :
$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n-1} f\left( \frac{b-a}{i} \right) \frac{b-a}{n} $$
\end{defn}
Ce calcul est apparenté au calcul des dérivés.
\begin{defn}
Soit $f:I\to \mathbb{R}$ avec $I$ un intervalle, on dit que $F:I\to \mathbb{R}$ est une primitive de $f$, i.e. $$ F'=f $$
\end{defn}
$F$ est toujours déterminée à une constante près.
\begin{thm}
Soit $f$ une fonction continue de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.
Il existe toujours une primitive $F$ de $f$ sur $[a,b]$.\\
On a alors :
$$ \int^b_a f(t)\mathrm{d}t = F(b)-F(a) = [F(x)]_a^b $$
\end{thm}
\begin{proof}
Admis.
\end{proof}
Ce calcul ne dépend pas de la constance de $F$.
\section{Calculs}
\subsection{Propriétés}
\begin{props}
La propriété de Chasles est vraie pour les intégrales
\end{props}
\begin{proof}
\AQT
\end{proof}
\begin{props}
L'intégrale est linéaire
\end{props}
\begin{proof}
\AQT
\end{proof}
\begin{props}
Si $f\geqslant 0$, alors $\int f\geqslant 0$.
Si $f \geqslant g$, alors $\int f \geqslant \int g$.
\end{props}
\begin{proof}
\AQT
\end{proof}
\subsection{Intégration par partie}
\begin{thm}[IPP]
Soient $f,g$ deux fonctions intégrables sur $[a,b]$.
Alors~:
$$ \int_a^b f'(x)g(x)\mathrm{d}x = [(fg)(x)]^b_a-\int^b_af(x)g'(x)\mathrm{d}x $$
\end{thm}
\begin{proof}
Admis.
\end{proof}
\begin{exemple}
On a :
$$ \int_a^b te^{-t}\mathrm{d}t = [-te^{-t}]^b_a-\int^a_be^{-t}\mathrm{d}t $$
(en posant $f'(t)=e^{-t}$ et $g(t)=t$)
\end{exemple}
\subsection{Changement de variable}
\begin{thm}
Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue.
Pour toute fonction $\varphi:J\to [a;b]$ de classe $\mathcal{C}^1$ et tous $\alpha,\beta\in J$ tels que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ (sous réserve d'existence), on a : $$ \int^b_af(t)\mathrm{d}t = \int^{\beta}_{\alpha}f(\varphi(u))\varphi'(u)\mathrm{d}u $$
\end{thm}
Quand on a une intégrale trop compliqué, on fait un changement de variable.
\begin{lititle}
Méthode
\end{lititle}
On cherche à transformer $$ \int^b_a f(t)\mathrm{d}t $$ en $$ \int^{\beta}_{\alpha} g(u)\mathrm{d}u $$
\begin{enumerate}
\item On exprime $t$ en fonction de $u$ (i.e. il existe $\varphi$ tel que $t=\varphi(u)$).
\item On cherche $\alpha,\beta$ tel que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$.
\item On vérifie que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[\alpha,\beta]$ et l’on calcule $\mathrm{d}t = \varphi'(u)\mathrm{d}u$, ce qui donne l’ancienne différentielle $\mathrm{d}t$ en fonction de la nouvelle $\mathrm{d}u$.
\item On transforme l’intégrant $f(t) \mathrm{d}t$ en remplaçant $\mathrm{d}t$ par $\varphi'(u) \mathrm{d}u$ et $t$ par $\mathrm{d}(u)$. On obtient ainsi un nouvel intégrant de la forme $g(u) \mathrm{d}u$.
\item On écrit la nouvelle intégrale et on obtient bien celle qu'on cherchait.
\end{enumerate}
\end{document}
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