1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
|
%%=====================================================================================
%%
%% Filename: cours.tex
%%
%% Description:
%%
%% Version: 1.0
%% Created: 03/06/2024
%% Revision: none
%%
%% Author: YOUR NAME (),
%% Organization:
%% Copyright: Copyright (c) 2024, YOUR NAME
%%
%% Notes:
%%
%%=====================================================================================
\documentclass[a4paper, titlepage]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{textcomp}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage[svgnames]{xcolor}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{lipsum}
\usepackage{framed}
\usepackage{parskip}
\usepackage{titlesec}
\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
% figure support
\usepackage{import}
\usepackage{xifthen}
\pdfminorversion=7
\usepackage{pdfpages}
\usepackage{transparent}
\newcommand{\incfig}[1]{%
\def\svgwidth{\columnwidth}
\import{./figures/}{#1.pdf_tex}
}
\pdfsuppresswarningpagegroup=1
\colorlet{defn-color}{DarkBlue}
\colorlet{props-color}{Blue}
\colorlet{warn-color}{Red}
\colorlet{exemple-color}{Green}
\colorlet{corol-color}{Orange}
\newenvironment{defn-leftbar}{%
\def\FrameCommand{{\color{defn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
\MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
{\endMakeFramed}
\newenvironment{warn-leftbar}{%
\def\FrameCommand{{\color{warn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
\MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
{\endMakeFramed}
\newenvironment{exemple-leftbar}{%
\def\FrameCommand{{\color{exemple-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
\MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
{\endMakeFramed}
\newenvironment{props-leftbar}{%
\def\FrameCommand{{\color{props-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
\MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
{\endMakeFramed}
\newenvironment{corol-leftbar}{%
\def\FrameCommand{{\color{corol-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
\MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
{\endMakeFramed}
\def \freespace {1em}
\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
notefont=\sffamily\bfseries,%
notebraces={}{},%
headpunct=,%
bodyfont=\sffamily,%
headformat=\color{defn-color}Définition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{defn-leftbar},%
postfoothook=\end{defn-leftbar},%
]{better-defn}
\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
notefont=\sffamily\bfseries,%
notebraces={}{},%
headpunct=,%
bodyfont=\sffamily,%
headformat=\color{warn-color}Attention\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{warn-leftbar},%
postfoothook=\end{warn-leftbar},%
]{better-warn}
\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
notefont=\sffamily\bfseries,%
notebraces={}{},%
headpunct=,%
bodyfont=\sffamily,%
headformat=\color{exemple-color}Exemple~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{exemple-leftbar},%
postfoothook=\end{exemple-leftbar},%
]{better-exemple}
\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
notefont=\sffamily\bfseries,%
notebraces={}{},%
headpunct=,%
bodyfont=\sffamily,%
headformat=\color{props-color}Proposition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},%
postfoothook=\end{props-leftbar},%
]{better-props}
\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
notefont=\sffamily\bfseries,%
notebraces={}{},%
headpunct=,%
bodyfont=\sffamily,%
headformat=\color{props-color}Théorème~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},%
postfoothook=\end{props-leftbar},%
]{better-thm}
\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
notefont=\sffamily\bfseries,%
notebraces={}{},%
headpunct=,%
bodyfont=\sffamily,%
headformat=\color{corol-color}Corollaire~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{corol-leftbar},%
postfoothook=\end{corol-leftbar},%
]{better-corol}
\declaretheorem[style=better-defn]{defn}
\declaretheorem[style=better-warn]{warn}
\declaretheorem[style=better-exemple]{exemple}
\declaretheorem[style=better-corol]{corol}
\declaretheorem[style=better-props, numberwithin=defn]{props}
\declaretheorem[style=better-thm, sibling=props]{thm}
\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection]
%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn]
\newenvironment{system}%
{\left\lbrace\begin{align}}%
{\end{align}\right.}
\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}}
\usepackage{LobsterTwo}
\titleformat{\section}{\newpage\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{}
\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}{\vspace{1em}\LobsterTwo \large\bfseries}{\thesubsubsection.}{1em}{}
\newenvironment{lititle}%
{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}%
{\\}
\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
\title{Fonctions}
\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Ensemble de définition et continuité}
\begin{defn}
Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ prend toutes les valeurs dans $A$ et lui associe une unique valeur dans $B$.
On appelle $A$ le domaine de définition de $f$ et $B$ l'ensemble d'arrivée de $f$.\\
On dit que $f$ est de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
\end{defn}
\begin{defn}
Une fonction $f:I\to E$ est continue si et seulement si :
$$ \forall x\in I,\quad \lim_{n \to x_0} f(x) = f(x_0) $$
\end{defn}
\section{Propriétés des applications}
\begin{defn}
Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ est surjective si et seulement si :
$$ \forall y\in B,\quad\exists x\in A,\quad f(x)=y $$
\end{defn}
Tous les éléments de $B$ sont atteints, comme la tarte.
\begin{defn}
Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ est injective si et seulement si :
$$ \forall (x_1,x_2)\in A^2,\quad f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2 $$
\end{defn}
Chaque élément de $A$ possède une image unique.
\begin{defn}
Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ est bijective si et seulement si elle est injective et surjective.
\end{defn}
Tous les éléments de $B$ sont atteints et est l'image d'un unique antécédent de $A$.
\begin{defn}
Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ est paire si et seulement si :
$$ \forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)=f(-x) $$
\end{defn}
\begin{defn}
Une fonction $f$ de $A$ dans $B$ est impaire si et seulement si :
$$ \forall x\in\mathbb{R},\quad f(x)=-f(x) $$
\end{defn}
\begin{defn}
Si $f$ de $A$ dans $B$ est bijective, alors il existe une fonction réciproque notée $f^{-1}$ de $B$ dans $A$ tel que :
$$ \forall a\in A,\quad f^{-1}(f(a)) = a $$
\end{defn}
\begin{props}
$f^{-1}$ est bijective et sa réciproque est $f$.
\end{props}
\begin{proof}
\AQT
\end{proof}
\begin{defn}
On dit que $f$ est $T$-périodique si et seulement si :
$$ \forall x\in A,\quad f(x)=f(x+T) $$
\end{defn}
\section{Grands théorèmes}
\begin{thm}[Théorème des valeurs intermédiaires]
Si $f$ est continue sur $[a,b]$, si pour tout $y$ inclus entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=y$.
\end{thm}
\begin{proof}
Admis
\end{proof}
\begin{thm}[Théorème de la bijection]
Soit $f$ une fonction de $[a,b]$ dans $E$. Si $f$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante), alors :
$$ \forall y\in [f(a),f(b)],\quad\exists !c\in[a,b],\quad f(c)=y $$
\end{thm}
\begin{proof}
Admis
\end{proof}
\section{Dérivation}
\begin{defn}
La dérivée de $f$ de $A$ dans $B$ est :
$$f'\begin{system}
A &\to b\\
x&\longmapsto \lim_{t \to x_0} \frac{f(t)-f(x)}{t-x}
\end{system}$$
si la limite est définie.
\end{defn}
\begin{props}
Soient deux fonctions $f$ et $g$ dérivables. \\
On a :
\begin{align*}
(f+g)' &= f'+g'\\
(fg)' &= f'g+g'f \\
\left(\frac{f}{g}\right)' &= \frac{f'g-g'f}{g^2}
\end{align*}
\end{props}
\begin{proof}
\AQT
\end{proof}
\begin{defn}
Soient $f:A\to B$ et $g:B\to C$.\\
On définit $g\circ f$ la composée de $f$ par $g$ tel que :
$$g\circ f\begin{system}
A&\to C\\
x\longmapsto g(f(x))
\end{system}$$
\end{defn}
\begin{props}
La dérivée de $g\circ f$ est $$g\circ f'\times f'$$
\end{props}
\begin{proof}
Chiant mais \AQT
\end{proof}
\begin{thm}
La dérivée de $f^{-1}$ est (si elle est dérivable) :
$$ f^{-1}'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))} $$
\end{thm}
\begin{proof}
Chiant, mais très intuitif graphiquement
\end{proof}
\end{document}
|
