4 files changed, 428 insertions, 0 deletions
diff --git a/semestre 2/maths/2-familles & bases/cours.pdf b/semestre 2/maths/2-familles & bases/cours.pdf
new file mode 100644
index 0000000..c98076c
--- /dev/null
+++ b/semestre 2/maths/2-familles & bases/cours.pdf
diff --git a/semestre 2/maths/2-familles & bases/cours.tex b/semestre 2/maths/2-familles & bases/cours.tex
new file mode 100644
index 0000000..2d75aba
--- /dev/null
+++ b/semestre 2/maths/2-familles & bases/cours.tex
@@ -0,0 +1,214 @@
+%%=====================================================================================
+%%
+%%       Filename:  cours.tex
+%%
+%%    Description:  
+%%
+%%        Version:  1.0
+%%        Created:  03/06/2024
+%%       Revision:  none
+%%
+%%         Author:  YOUR NAME (), 
+%%   Organization:  
+%%      Copyright:  Copyright (c) 2024, YOUR NAME
+%%
+%%          Notes:  
+%%
+%%=====================================================================================
+\documentclass[a4paper, titlepage]{article}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{textcomp}
+\usepackage[french]{babel}
+\usepackage{amsmath, amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage[svgnames]{xcolor}
+\usepackage{thmtools}
+\usepackage{lipsum}
+\usepackage{framed}
+\usepackage{parskip}
+\usepackage{titlesec}
+
+\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
+
+% figure support
+\usepackage{import}
+\usepackage{xifthen}
+\pdfminorversion=7
+\usepackage{pdfpages}
+\usepackage{transparent}
+\newcommand{\incfig}[1]{%
+	\def\svgwidth{\columnwidth}
+	\import{./figures/}{#1.pdf_tex}
+}
+
+\pdfsuppresswarningpagegroup=1
+
+\colorlet{defn-color}{DarkBlue}
+\colorlet{props-color}{Blue}
+\colorlet{warn-color}{Red}
+\colorlet{exemple-color}{Green}
+\colorlet{corol-color}{Orange}
+\newenvironment{defn-leftbar}{%
+  \def\FrameCommand{{\color{defn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
+  \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
+ {\endMakeFramed}
+\newenvironment{warn-leftbar}{%
+  \def\FrameCommand{{\color{warn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
+  \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
+ {\endMakeFramed}
+\newenvironment{exemple-leftbar}{%
+  \def\FrameCommand{{\color{exemple-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
+  \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
+ {\endMakeFramed}
+\newenvironment{props-leftbar}{%
+  \def\FrameCommand{{\color{props-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
+  \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
+ {\endMakeFramed}
+\newenvironment{corol-leftbar}{%
+  \def\FrameCommand{{\color{corol-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
+  \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
+ {\endMakeFramed}
+
+\def \freespace {1em}
+\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
+ notefont=\sffamily\bfseries,%
+ notebraces={}{},%
+ headpunct=,%
+ bodyfont=\sffamily,%
+ headformat=\color{defn-color}Définition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
+ preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{defn-leftbar},%
+ postfoothook=\end{defn-leftbar},%
+]{better-defn}
+\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
+ notefont=\sffamily\bfseries,%
+ notebraces={}{},%
+ headpunct=,%
+ bodyfont=\sffamily,%
+ headformat=\color{warn-color}Attention\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
+ preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{warn-leftbar},%
+ postfoothook=\end{warn-leftbar},%
+]{better-warn}
+\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
+ notefont=\sffamily\bfseries,%
+notebraces={}{},%
+headpunct=,%
+ bodyfont=\sffamily,%
+ headformat=\color{exemple-color}Exemple~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
+ preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{exemple-leftbar},%
+ postfoothook=\end{exemple-leftbar},%
+]{better-exemple}
+\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
+ notefont=\sffamily\bfseries,%
+ notebraces={}{},%
+ headpunct=,%
+ bodyfont=\sffamily,%
+ headformat=\color{props-color}Proposition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
+ preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},%
+ postfoothook=\end{props-leftbar},%
+]{better-props}
+\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
+ notefont=\sffamily\bfseries,%
+ notebraces={}{},%
+ headpunct=,%
+ bodyfont=\sffamily,%
+ headformat=\color{props-color}Théorème~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
+ preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},%
+ postfoothook=\end{props-leftbar},%
+]{better-thm}
+\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
+ notefont=\sffamily\bfseries,%
+ notebraces={}{},%
+ headpunct=,%
+ bodyfont=\sffamily,%
+ headformat=\color{corol-color}Corollaire~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
+ preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{corol-leftbar},%
+ postfoothook=\end{corol-leftbar},%
+]{better-corol}
+
+\declaretheorem[style=better-defn]{defn}
+\declaretheorem[style=better-warn]{warn}
+\declaretheorem[style=better-exemple]{exemple}
+\declaretheorem[style=better-corol]{corol}
+\declaretheorem[style=better-props, numberwithin=defn]{props}
+\declaretheorem[style=better-thm, sibling=props]{thm}
+\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection]
+%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn]
+
+\newenvironment{system}%
+{\left\lbrace\begin{align}}%
+{\end{align}\right.}
+
+\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}}
+
+\usepackage{LobsterTwo}
+\titleformat{\section}{\newpage\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{}
+\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{}
+\titleformat{\subsubsection}{\vspace{1em}\LobsterTwo \large\bfseries}{\thesubsubsection.}{1em}{}
+
+\newenvironment{lititle}%
+{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}%
+{\\}
+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{Familles et bases}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\tableofcontents
+	\newpage
+	\section{Familles}
+	\begin{defn}
+		Soit $(v_1,\ldots,v_p)$ une famille de vecteurs dans $\mathbb{R}^p$.
+
+		La famille est dite liée s'il existe $(\lambda_1,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p$ non tous nuls tel que :
+		$$ \sum_{i=1}^{p} \lambda_iv_i = 0 $$
+	\end{defn}
+	\begin{defn}
+		Si une famille n'est pas liée, alors elle est libre.
+	\end{defn}
+	Le vecteur nul est toujours dans une famille liée !
+
+	\begin{thm}
+		La famille $A=(v_1,\ldots,v_q)$ est libre si et seulement si $\mathrm{rg}(A)=q$.
+	\end{thm}
+
+	\begin{defn}
+		Une famille $A=(v_1,\ldots,v_q)$ dans $E$, un ev de $\mathbb{K}$, est génératrice si et seulement si :
+		$$ \forall b\in E,\quad \exists(\lambda_1,\ldots,\lambda_q)\in\mathbb{K}^q,\quad \sum_{i=1}^{q} \lambda_iv_i = b $$
+	\end{defn}
+	Avec une famille génératrice, on peut générer tout l'espace.
+	\section{Base}
+	\begin{defn}
+		Une base de $E$ est une famille libre et génératrice.
+
+		On note $\mathrm{dim}(E)$ le cardinal d'une base de $E$.
+	\end{defn}
+	$\mathrm{dim}(E)$ est unique.
+
+	\begin{thm}
+		Soit $A$ une famille de vecteurs de cardinal $q$.
+
+		Si le rang de $A$ vaut $\mathrm{dim}(E)$, alors $A$ est génératrice (i.e. $\forall b\in E,\exists X,\quad AX=b$).
+
+		(Rappel) Si le rang de $A$ vaut $q$, alors $A$ est libre (i.e. $\exists!X,\quad AX=0$).
+	\end{thm}
+	Une matrice $A$ carrée de $\mathcal{M}_n$ est une base si et seulement si son rang vaut $n$.
+
+	On remarque donc que $A$ est une base s'il existe des opérations élémentaires permettant d'écrire une multiplication des opérations élémentaires successives par $A$ égal à $I_n$. Cela montre que $A$ est inversible et que $A^{-1}$ est la multiplication des opérations élémentaires successives.
+
+	Pour trouver l'inverse, on fait le pivot de Gauss sur la matrice et sur la matrice identité correspondante.
+
+	\begin{exemple}[Technique pour trouver l'inverse]
+		On a :
+		$$ \begin{pmatrix} 1&3&0&|&1&0&0\\ 2&1&0&|&0&1&0\\0&0&1&|&0&0&1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&3&0&|&1&0&0\\ 0&-5&0&|&-2&1&0\\0&0&1&|&0&0&1 \end{pmatrix} $$
+		$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1&3&0&|&1&0&0\\ 0&1&0&|&2/5&-1/5&0\\0&0&1&|&0&0&1 \end{pmatrix}\rightarrow  \begin{pmatrix} 1&0&0&|&-1/5&3/5&0\\ 0&1&0&|&2/5&-1/5&0\\0&0&1&|&0&0&1 \end{pmatrix}$$
+		Ainsi, on a que la matrice $\small\begin{pmatrix}-1/5&3/5&0\\2/5&-1/5&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$ est l'inverse de la première matrice. 
+
+		NLDR: les étapes sont foireuses mais on a la marche à suivre
+	\end{exemple}
+\end{document}
+
diff --git a/semestre 2/maths/td/02-06.pdf b/semestre 2/maths/td/02-06.pdf
new file mode 100644
index 0000000..cbdcf96
--- /dev/null
+++ b/semestre 2/maths/td/02-06.pdf
diff --git a/semestre 2/maths/td/02-06.tex b/semestre 2/maths/td/02-06.tex
new file mode 100644
index 0000000..fea213b
--- /dev/null
+++ b/semestre 2/maths/td/02-06.tex
@@ -0,0 +1,214 @@
+%%=====================================================================================
+%%
+%%       Filename:  cours.tex
+%%
+%%    Description:  
+%%
+%%        Version:  1.0
+%%        Created:  03/06/2024
+%%       Revision:  none
+%%
+%%         Author:  YOUR NAME (), 
+%%   Organization:  
+%%      Copyright:  Copyright (c) 2024, YOUR NAME
+%%
+%%          Notes:  
+%%
+%%=====================================================================================
+\documentclass[a4paper, titlepage]{article}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage{textcomp}
+\usepackage[french]{babel}
+\usepackage{amsmath, amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage[svgnames]{xcolor}
+\usepackage{thmtools}
+\usepackage{lipsum}
+\usepackage{framed}
+\usepackage{parskip}
+\usepackage{titlesec}
+
+\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault}
+
+% figure support
+\usepackage{import}
+\usepackage{xifthen}
+\pdfminorversion=7
+\usepackage{pdfpages}
+\usepackage{transparent}
+\newcommand{\incfig}[1]{%
+	\def\svgwidth{\columnwidth}
+	\import{./figures/}{#1.pdf_tex}
+}
+
+\pdfsuppresswarningpagegroup=1
+
+\colorlet{defn-color}{DarkBlue}
+\colorlet{props-color}{Blue}
+\colorlet{warn-color}{Red}
+\colorlet{exemple-color}{Green}
+\colorlet{corol-color}{Orange}
+\newenvironment{defn-leftbar}{%
+  \def\FrameCommand{{\color{defn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
+  \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
+ {\endMakeFramed}
+\newenvironment{warn-leftbar}{%
+  \def\FrameCommand{{\color{warn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
+  \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
+ {\endMakeFramed}
+\newenvironment{exemple-leftbar}{%
+  \def\FrameCommand{{\color{exemple-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
+  \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
+ {\endMakeFramed}
+\newenvironment{props-leftbar}{%
+  \def\FrameCommand{{\color{props-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
+  \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
+ {\endMakeFramed}
+\newenvironment{corol-leftbar}{%
+  \def\FrameCommand{{\color{corol-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}%
+  \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}%
+ {\endMakeFramed}
+
+\def \freespace {1em}
+\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
+ notefont=\sffamily\bfseries,%
+ notebraces={}{},%
+ headpunct=,%
+ bodyfont=\sffamily,%
+ headformat=\color{defn-color}Définition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
+ preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{defn-leftbar},%
+ postfoothook=\end{defn-leftbar},%
+]{better-defn}
+\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
+ notefont=\sffamily\bfseries,%
+ notebraces={}{},%
+ headpunct=,%
+ bodyfont=\sffamily,%
+ headformat=\color{warn-color}Attention\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
+ preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{warn-leftbar},%
+ postfoothook=\end{warn-leftbar},%
+]{better-warn}
+\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
+ notefont=\sffamily\bfseries,%
+notebraces={}{},%
+headpunct=,%
+ bodyfont=\sffamily,%
+ headformat=\color{exemple-color}Exemple~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
+ preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{exemple-leftbar},%
+ postfoothook=\end{exemple-leftbar},%
+]{better-exemple}
+\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
+ notefont=\sffamily\bfseries,%
+ notebraces={}{},%
+ headpunct=,%
+ bodyfont=\sffamily,%
+ headformat=\color{props-color}Proposition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
+ preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},%
+ postfoothook=\end{props-leftbar},%
+]{better-props}
+\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
+ notefont=\sffamily\bfseries,%
+ notebraces={}{},%
+ headpunct=,%
+ bodyfont=\sffamily,%
+ headformat=\color{props-color}Théorème~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
+ preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},%
+ postfoothook=\end{props-leftbar},%
+]{better-thm}
+\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,%
+ notefont=\sffamily\bfseries,%
+ notebraces={}{},%
+ headpunct=,%
+ bodyfont=\sffamily,%
+ headformat=\color{corol-color}Corollaire~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,%
+ preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{corol-leftbar},%
+ postfoothook=\end{corol-leftbar},%
+]{better-corol}
+
+\declaretheorem[style=better-defn]{defn}
+\declaretheorem[style=better-warn]{warn}
+\declaretheorem[style=better-exemple]{exemple}
+\declaretheorem[style=better-corol]{corol}
+\declaretheorem[style=better-props, numberwithin=defn]{props}
+\declaretheorem[style=better-thm, sibling=props]{thm}
+\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection]
+%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn]
+
+\newenvironment{system}%
+{\left\lbrace\begin{align}}%
+{\end{align}\right.}
+
+\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}}
+
+\usepackage{LobsterTwo}
+\titleformat{\section}{\newpage\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{}
+\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{}
+\titleformat{\subsubsection}{\vspace{1em}\LobsterTwo \large\bfseries}{\thesubsubsection.}{1em}{}
+
+\newenvironment{lititle}%
+{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}%
+{\\}
+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{TD du 6 février}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\section*{Exercice 1}
+	$$ \begin{pmatrix} -3&5&6&|&1&0&0\\-1&2&2&|&0&1&0\\ 1&-1&-1&|&0&0&1 \end{pmatrix}  $$
+	$$ \begin{pmatrix} 0&2&3&|&1&0&3\\0&1&1&|&0&1&1\\ 1&-1&-1&|&0&0&1 \end{pmatrix}  $$
+	$$ \begin{pmatrix} 0&0&1&|&1&-2&1\\0&1&1&|&0&1&1\\ 1&-1&-1&|&0&0&1 \end{pmatrix}  $$
+	$$ \begin{pmatrix} 0&0&1&|&1&-2&1\\0&1&0&|&-1&3&0\\ 1&0&0&|&0&1&2 \end{pmatrix}  $$
+	$$ \begin{pmatrix} 1&0&0&|&0&1&2\\0&1&0&|&-1&3&0\\ 0&0&1&|&1&-2&1 \end{pmatrix}  $$
+	On a donc que :
+	$$ \begin{pmatrix} 0&1&2\\-1&3&0\\1&-2&1 \end{pmatrix}  $$ est l'inverse de la matrice $A$.
+
+	\begin{lititle}
+		Comment passer de la matrice échelonnée à la matrice identité~?
+	\end{lititle}
+	On applique la méthode vu la semaine dernière~: on passe à la matrice échelonnée réduite.
+	\section*{Exercice 3}
+	$\mathrm{det}B = -5$, $\mathrm{det}C=5$, $\mathrm{det}\begin{pmatrix} 5&0\\5&-5 \end{pmatrix} = -25$, $\mathrm{det}\begin{pmatrix} 4&0\\3&0 \end{pmatrix}=0$ ; ces formules sont généralisables, i.e.
+	$$ \forall (A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})^2,\quad \mathrm{det}(A+B) = \mathrm{det}A+\mathrm{det}B $$
+	$$ \forall (A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})^2,\quad \mathrm{det}(AB) = \mathrm{det}A\times\mathrm{det}B $$
+	\section*{Exercice 4}
+	\subsection*{Calculer le déterminent de toutes les matrices}
+	Pour calculer le déterminent d'une matrice, on va sommer un ensemble de produit. Chacun de ces produits sera un déterminent plus petit multiplié par les cœfficients de la première ligne.
+
+	Pour choisir quel déterminent on doit calculer, on prend tous les cœfficients de la matrice dans l'ordre dans lequel ils apparaissent sans prendre ceux dans la ligne et la colonne du cœfficient de facteur. Dans la suite, on notera cette fonction $D$.
+
+	Soient $A$ une matrice carrée de taille $n$ et $F=(a_{1,1}~\text{\----}~a_{1,n})$ les cœfficients de sa première ligne, la formule générale est :
+	$$ \sum_{i=1}^{n} S(i)a_{1,i}\mathrm{det}(D(i)) $$
+	où $S$ est une fonction donnant le signe à appliquer en fonction de cette matrice de signe :
+	$$ \begin{pmatrix} +&-&+&-\\-&+&-&+\\+&-&+&-\\-&+&-&+ \end{pmatrix} $$
+	(pour une matrice $4\times 4$)
+
+	On a donc que le déterminent de $\begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{2,3}&a_{3,3} \end{pmatrix} $ est $$ a_{1,1}\mathrm{det}\begin{pmatrix} a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,2}&a_{3,3} \end{pmatrix} - a_{1,2}\mathrm{det}\begin{pmatrix} a_{2,1}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,3} \end{pmatrix} + a_{1,3}\mathrm{det}\begin{pmatrix} a_{2,1}&a_{2,2}\\a_{3,1}&a_{3,2} \end{pmatrix}  $$
+
+	\fbox{Choix des cœfficients} \---- En réalité, on n'est pas obligé de pendre la première ligne. On peut prendre n'importe qu'elle ligne ou colonne si elle nous arrange (notamment si elle a beaucoup de 0). De plus, les combinaisons linéaires ne changent pas le déterminent, on peut donc en abuser pour simplifier nos calculs.
+	\subsection*{Exercices}
+	\begin{enumerate}
+		\item $\mathrm{det}\begin{pmatrix} 2&3\\2&3 \end{pmatrix} - \mathrm{det}\begin{pmatrix} 1&3\\0&3 \end{pmatrix} + \mathrm{det}\begin{pmatrix} 1&2\\0&2 \end{pmatrix} = -1$
+		\item On s'amuse avec les combinaisons linéaires et on obtient que son $\mathrm{det}$ vaut $1$.
+		\item Si $x=4$, alors la ligne 1 et 2 sont identiques. Si $x=5$, alors la ligne 2 et 3 sont identiques. Pour tout autre valeur de $n$, il n'existe pas de combinaisons linéaires entre les lignes 1 et 2 donnant la ligne 3. Donc $A_xX=B$ possède une solution pour tout $x\in\mathbb{R}\backslash\{4, 5\}$.
+	\end{enumerate}
+	\section*{Exercice 5}
+	On a cas que :
+	$$ L_2 = -2L_3+4L_1 $$
+	donc $A_1$ n'est pas inversible.
+
+	$$ \begin{pmatrix} 1&2&3&|&1&0&0\\-1&1&0&|&0&1&0\\-1&4&4&|&0&0&1 \end{pmatrix}  $$
+	$$ \begin{pmatrix} 0&3&3&|&1&1&0\\-1&1&0&|&0&1&0\\0&3&4&|&0&-1&1 \end{pmatrix}  $$
+	$$ \begin{pmatrix} 0&3&3&|&1&1&0\\-1&1&0&|&0&1&0\\0&0&1&|&-1&0&1 \end{pmatrix}  $$
+	$$ \begin{pmatrix} -1&1&0&|&0&1&0\\0&3&3&|&1&1&0\\0&0&1&|&-1&0&1 \end{pmatrix}  $$
+	$$ \begin{pmatrix} -1&1&0&|&0&1&0\\0&3&0&|&-2&1&3\\0&0&1&|&-1&0&1 \end{pmatrix}  $$
+	$$ \begin{pmatrix} 1&0&0&|&-2/3&-2/3&1\\0&3&0&|&-2&1&3\\0&0&1&|&-1&0&1 \end{pmatrix}  $$
+	$$ \begin{pmatrix} 1&0&0&|&-2/3&-2/3&1\\0&1&0&|&-2/3&1&1\\0&0&1&|&-1&0&1 \end{pmatrix}  $$
+	ERREUR DE CALCUL QLQ PART
+	\section*{Exercice 6}
+	Le det de $A$ est $3\mathrm{det}\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&0&1\\1&1&0 \end{pmatrix}$, i.e. $6\mathrm{det}\begin{pmatrix} 1&1\\0&1 \end{pmatrix} = 6 $
+\end{document}