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diff --git a/semestre 1/maths/5-limites/cours.pdf b/semestre 1/maths/5-limites/cours.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..78ec5ac --- /dev/null +++ b/semestre 1/maths/5-limites/cours.pdf diff --git a/semestre 1/maths/5-limites/cours.tex b/semestre 1/maths/5-limites/cours.tex new file mode 100644 index 0000000..4e316aa --- /dev/null +++ b/semestre 1/maths/5-limites/cours.tex @@ -0,0 +1,249 @@ +%%===================================================================================== +%% +%% Filename: cours.tex +%% +%% Description: +%% +%% Version: 1.0 +%% Created: 03/06/2024 +%% Revision: none +%% +%% Author: YOUR NAME (), +%% Organization: +%% Copyright: Copyright (c) 2024, YOUR NAME +%% +%% Notes: +%% +%%===================================================================================== +\documentclass[a4paper, titlepage]{article} + +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{textcomp} +\usepackage[french]{babel} +\usepackage{amsmath, amssymb} +\usepackage{amsthm} +\usepackage[svgnames]{xcolor} +\usepackage{thmtools} +\usepackage{lipsum} +\usepackage{framed} +\usepackage{parskip} +\usepackage{titlesec} + +\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} + +% figure support +\usepackage{import} +\usepackage{xifthen} +\pdfminorversion=7 +\usepackage{pdfpages} +\usepackage{transparent} +\newcommand{\incfig}[1]{% + \def\svgwidth{\columnwidth} + \import{./figures/}{#1.pdf_tex} +} + +\pdfsuppresswarningpagegroup=1 + +\colorlet{defn-color}{DarkBlue} +\colorlet{props-color}{Blue} +\colorlet{warn-color}{Red} +\colorlet{exemple-color}{Green} +\colorlet{corol-color}{Orange} +\newenvironment{defn-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{defn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{warn-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{warn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} 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+ notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{props-color}Théorème~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},% + postfoothook=\end{props-leftbar},% +]{better-thm} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{corol-color}Corollaire~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{corol-leftbar},% + postfoothook=\end{corol-leftbar},% +]{better-corol} + +\declaretheorem[style=better-defn]{defn} +\declaretheorem[style=better-warn]{warn} +\declaretheorem[style=better-exemple]{exemple} +\declaretheorem[style=better-corol]{corol} +\declaretheorem[style=better-props, numberwithin=defn]{props} +\declaretheorem[style=better-thm, sibling=props]{thm} +\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection] +%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn] + +\newenvironment{system}% +{\left\lbrace\begin{align}}% +{\end{align}\right.} + +\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}} + +\usepackage{LobsterTwo} +\titleformat{\section}{\newpage\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{} +\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{} +\titleformat{\subsubsection}{\vspace{1em}\LobsterTwo \large\bfseries}{\thesubsubsection.}{1em}{} + +\newenvironment{lititle}% +{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}% +{\\} + +\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}} + +\title{Limites} +\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}} + +\begin{document} + \maketitle + \tableofcontents + \newpage + \section{Classe d'une fonction} + \begin{defn} + Une fonction est de classe $\mathcal{C}^n$ (où $n\in\mathbb{N}^*$) si et seulement si sa dérivée $n$-ième est continue.\\ + Une fonction de classe $\mathcal{C}^0$ ne possède pas de dérivée continue.\\ + Une fonction est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ si et seulement si elle est dérivable une infinité de fois et que cette dériviée est continue. + \end{defn} + \begin{thm}[Théorème des accroissements finis] + Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1_{[a,b]}$. + + Il existe $c\in]a,b[$ tel que : + $$ f'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$ + \end{thm} + \begin{thm}[Inégalité des accroissements finis] + Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1_{[a,b]}$. + + S'il existe $M\in\mathbb{R}_+$ tel que : + $$ \forall x\in]a,b[,\quad |f'(x)|\leqslant M $$ + alors + $$ |f(b)-f(a)|\leqslant M(b-a) $$ + \end{thm} + \section{Comparaison d'ordre de grandeur} + \begin{defn} + Soit $x$ de $\mathbb{R}$. + + Un voisinage de $x$ est un intervalle ouvert contenant $x$. + \end{defn} + \begin{defn} + Une limite $l$ en $a$ de la fonction $f$ défini dans voisinage de $a$ est : + $$ \forall \varepsilon>0,\quad\exists N\in\mathbb{R},\quad \forall x>N,\quad f(x)\in]l-\varepsilon,l+\varepsilon[ $$ + \end{defn} + \begin{defn} + Soient $x$ de $\mathbb{R}$ et $f,g$ deux fonctions définies sur un voisinage $I$ de $x$. + + On dit que : + \begin{enumerate} + \item $f$ est un petit $o$ de $g$ au voisinage de $x$ (noté $f=o_x(g)$) s'il existe une fonction $\varepsilon:I\to \mathbb{R}$ tel que : + $$ \forall x\in I,\quad f(x)=\varepsilon(x)g(x)\quad\land\quad \lim_{x_0 \to x} \varepsilon(x_0) = 0 $$ + \item $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $x$ (noté $f\sim_x g$) s'il existe une fonction $\varepsilon:I\to \mathbb{R}$ tel que : + $$ \forall x\in I,\quad f(x)=(1+\varepsilon(x))g(x)\quad\land\quad \lim_{x_0 \to x} \varepsilon = 0 $$ + \end{enumerate} + \end{defn} + On note $\overline{\mathbb{R}}$ l'ensemble $\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$. + \begin{thm} + Soient $x\in\overline{\mathbb{R}}$ et $f,g$ deux fontions définis sur un voisinage $I$ de $x$ avec $g$ ne s'annulant pas en $x$. + + On dit que : + \begin{enumerate} + \item $f=o_x(g)$ si $\lim_{x_0 \to x} \frac{f(x_0)}{g(x_0)}=0$ + \item $f\sim_x g$ si $\lim_{x_0 \to x} \frac{f(x_0)}{g(x_0)}=1$ + \end{enumerate} + \end{thm} + \begin{defn} + Un développement limité d'ordre $n$ (noté DL$_n$) en $a$ est une fonction telle que + $$ f(a+h) = c_0+c_1h+c_2h^2+\ldots+c_nh^n+o_{h\to 0}(h^n) $$ + où $f$ admet $c_0,\ldots,c_n\in\mathbb{R}$. + \end{defn} + \begin{thm}[Théorème de Taylor] + Soient $n\in\mathbb{N}$ et $f:I\to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^n$ sur $I$. + + On a que $f$ admet un unique DL$_n$ de forme : + $$ f(a+h)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k + o_{h\to 0}(h^n) $$ + \end{thm} + On a : + \begin{center} + \fbox{$\displaystyle\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} +\ldots+ (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$} + \end{center} + \begin{center} + \fbox{$\displaystyle\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} +\ldots+ (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$} + \end{center} + \begin{center} + \fbox{$\displaystyle e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{x!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$} + \end{center} + \begin{center} + \fbox{$\displaystyle \ln x = \frac{x}{1!}-\frac{x^2}{x!}+\ldots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$} + \end{center} + \begin{center} + \fbox{$\displaystyle(a+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\binom{\alpha}{2}x+\ldots+\binom{\alpha}{n}x+o(x^n)$}\\ + \fbox{$\displaystyle\binom{\alpha}{n}=\frac{\prod_{k=0}^{n} \alpha-k}{n!}$} + \end{center} + \begin{center} + \fbox{$\displaystyle\frac{1}{x-1}=1-x+x^2+\ldots+(-1)^nx^n+o(x^n)$} + \end{center} + \begin{center} + \fbox{Les fonctions hyperboliques sont comme les fonctions circulaires,} + \fbox{mais sans alternance du signe} + \end{center} +\end{document} |