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\renewenvironment{proof}{\par$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}\par}

\title{Ensembles, relations, fonctions}
\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université}}

\begin{document}
	\maketitle
	\tableofcontents
	\newpage
    \section{Ensembles}
    \subsection{Définition}
    \begin{defn}
        Ensemble est une réunion dans une même entité de certains objets déterminés.
        Un ensemble ne possède pas d'ordre.
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Relation d'appartenance est noté $\in$.
        Elle indique si un élément $e$ appartient à un ensemble $E$.
    \end{defn}
    \begin{defn}
        $\varnothing$ est l'ensemble vide, celui qui ne contient rien.

        $\{e\}$ est le singleton $e$ (i.e. l'ensemble contenant exclusivement $e$).
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments appartenant à cet ensemble.
        On le note $|E|$ ou $\mathrm{card}(E)$.
    \end{defn}
    \begin{exemple}
        On a~:
        $$ |\{7.2\}| = 1 $$
    \end{exemple}
    \begin{warn}
        $2\not\in \{\{2\}\}$
    \end{warn}
    \begin{props}
        Tout ensemble contient l'ensemble vide.
    \end{props}
    \subsection{Opérations}
    \begin{defn}
        La relation $A\subseteq B$ indique si $A$ est un sous-ensemble de $B$, i.e.
        $$ \forall a\in A,\quad a\in B $$
    \end{defn}
    \begin{props}
        Cette relation est réflexive, i.e. $E\subseteq E$ est vraie
    \end{props}
    \begin{defn}
        Cette relation est transitive, i.e.
        $E_1\subseteq E_2\land E_2\subseteq E_3\quad\implies\quad E_1\subseteq E_3$ est vraie.
    \end{defn}
    \begin{defn}
        On dit que $A=B$ si, et seulement si~:
        $$ A\subseteq B\quad\land\quad B\subseteq A $$
        i.e.
        $$ \forall x\in A,\quad x\in B $$
    \end{defn}
    \begin{props}
        On a que $\subseteq$ est anti-symétrique.
    \end{props}
    \begin{defn}
        Une relation est dite d'ordre (voir après) si elle est~:
        \begin{itemize}
            \item réflexive
            \item transitive
            \item anti-symétrique
        \end{itemize}
        Elle est dite partielle si elle n'est pas applicable pour tous les éléments.
    \end{defn}
    \begin{props}
        Comme $\subseteq$ est réflexive, transitive et anti-symétrique, alors $\subseteq$ est une relation d'ordre.

        Par contre, deux ensembles ne sont pas nécessairement comparables avec $\subseteq$~: il s'agit donc d'une relation d'ordre partielle.
    \end{props}
    \begin{defn}
        $A\cup B$ est l'union de $A$ et $B$, deux sous-ensembles de $E$, tel que~:
        $$ A\cup B = \{x| x\in A\lor x\in B\} $$
        $A\cap B$ est l'intersection tel que~:
        $$ A\cap B = \{x| x\in A\land x\in B\} $$
    \end{defn}
    La construction des ensembles de cette manière est dite par compréhension, comme en programmation fonctionnelle (et
    en Python).
    \begin{defn}
        $A$ et $B$ sont disjoints si, et seulement si~:
        $$ A\cap B = \varnothing $$
    \end{defn}
    \begin{thm}[Formule du crible, formule de Poincaré]
        Soient $A$ et $B$ deux sous-ensemble de $E$.
        On a~:
        $$ |A\cup B| = |A|+|B|+|A\cap B| $$
    \end{thm}
    \begin{defn}
        La différence $A\backslash B$ , deux sous-ensembles de $E$, est~:
        $$ A\backslash B = \{x|x\in A\land x\notin B\} $$
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Le complémentaire de $A$, un sous-ensemble de $E$, est noté $\bar A$ et est défini tel que~:
        $$ \bar A= E\backslash A $$
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Le produit cartésien $A\times B$ est l'ensemble des couples $(a,b)$ avec $a\in A$ et $b\in B$.
        Donc~:
        $$ A\times B = \{(a,b)|a\in A,b\in B\} $$
    \end{defn}
    \begin{props}
        Si $E_1,\ldots,E_n$ sont des ensembles finis, alors~:
        $$\left|\prod^n_{i=1} E_i\right| = \prod^n_{i=1}|E_i|$$
    \end{props}
    \begin{props}[Lois de De Morgan]
        On a~:
        $$ \overline{A\cap B} = \bar A\cup\bar B $$
        $$ \overline{A\cup B} = \bar A\cap\bar B $$
    \end{props}
    \begin{defn}
        Une partie $A$ d'un ensemble $E$ est un sous-ensemble de $E$.

        $\mathcal{P}(E)$ est l'ensemble des parties de $E$.
    \end{defn}
    \begin{warn}
        $\mathcal{P}(E)$ ne peut jamais être vide~!

        En effet, on a $\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\} \neq \varnothing$~!
        Ne pas oublier que $\mathcal{P}(E)$ est un ensemble d'ensemble et que $\varnothing$ est bien un ensemble valide~!
    \end{warn}
    \begin{lititle}
        Construction de $\mathcal{P}(E)$
    \end{lititle}
    Si $E=\varnothing$, alors $\mathcal{P}(E) = \{\varnothing\}$.
    Sinon, $E=\{e\}\cup F\neq\varnothing$ ($e$ est un élément de $E$ et $F$ est ce qui reste, il peut être vide~!).

    Proposition~: $$ \mathcal{P}(\{e\}\cup F) = \mathcal{P}(F)\cup\{\{e\}\cup A|A\in\mathcal{P}(F)\} $$

    Ceci est un appel récursif de la fonction $\mathcal{P}$ permettant ainsi de construire l'ensemble des parties.
    \begin{corol}
        Si $E$ est un ensemble fini contenant $n$ éléments, alors $|\mathcal{P}(E)|=2^n$.
    \end{corol}
    \begin{defn}
        Soit $E$ un ensemble.
        Quand on partitionne $E$, on construit des parties non vides deux à deux disjointes.

        Une partition de $E$ est une famille $(A_i)_{i\in I}$ de parties de $E$ telle que~:
        \begin{itemize}
            \item $A_i\neq\varnothing$
            \item $A_i\cap A_j = \varnothing$ si $i\neq j$ (pour tout $(i,j)$ dans $I$)
            \item $E=\bigcup_{i\in I} A_i$
        \end{itemize}
    \end{defn}
    \begin{warn}
        Une partition de $E$ n'est pas unique dans le cas générale~!
    \end{warn}
    \section{Relations}
    \subsection{Définitions}
    \begin{defn}
        Relation binaire $R$ d'un ensemble $E$ vers $F$ est un sous-ensemble de $E\times F$, i.e.
        $$ R\subseteq E\times F $$
        On peut la noter $(x,y)\in R$, $x R y$, $R(x,y)$.
        Lorsque $E=F$, on dit que $R$ est une relation binaire sur $E$.
    \end{defn}
    \begin{exemple}
        $\mathrm{Id}_E$ est la relation identité de $E$ est une relation binaire sur $E$ telle que $\{(e,e)|e\in E\}$.

        $\mathrm{Id}_{\mathbb{N}} = \{(n,n)|n\in\mathbb{N}\}$

        $\leqslant$ sur $\mathbb{N}$ est aussi une relation binaire~: $\{(n_1,n_2)\in\mathbb{N}^2|n_1\leqslant n_2\}$.

        $<$ sur $\mathbb{N}$ est aussi une relation binaire (elle est incluse dans $\leqslant$).
    \end{exemple}
    Comme une opération est un ensemble, on peut appliquer les opérations ensemblistes dessus~!
    \begin{defn}
        Relation $n$-aire est un sous-ensemble du produit cartésien $E_1\times\ldots\times E_n$
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Une relation unaire est un sous-ensemble d'un ensemble $E$.
    \end{defn}
    Définir par compréhension permet d'énoncer la propriété caractéristique de l'ensemble. 
    On peut avoir une même relation pour des propriétés caractéristiques différentes

    Définir par extension permet de lister les éléments.
    \begin{defn}
        La relation inverse $R^{-1}$ d'une relation $R\subseteq E\times F$ est la relation de $F$ vers $E$ contenant
        tous les couples $(x,y)$ tels que $(y,x)\in R$, i.e.
        $$ R^{-1} = \{(x,y)\in F\times E|(y,x)\in R\} $$
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Un produit de relation est quand on applique plusieurs relations à la suite.

        Le produit de $R_1\subseteq E\times F$ et de $R_2\subseteq F\times G$ est définie par~:
        $$ R_1.R_2 = \left\{(x,y)\in E\times G\quad|\quad\exists z, (x,z)\in R_1\quad\land\quad(z,y)\in R_2\right\} $$

        On la note $R_1\circ R_2$ ou $R_1.R_2$.
    \end{defn}
    Appliquer $R_1.R_2$ revient à appliquer $R_1$ puis $R_2$.
    \begin{warn}
        Le produit de relation n'est pas commutatif
    \end{warn}
    \begin{warn}
        $R\cdot R^{-1}\neq\mathrm{Id}_E$~!

        De même dans l'autre sens.
    \end{warn}
    \begin{props}[Propriétés]
        $\varnothing$ est un élément est absorbant des relations~: $R\cdot\varnothing = \varnothing\cdot R = R$.

        Le produit est associatif : $R_1\cdot(R_2\cdot R_3) = (R_1\cdot R_2)\cdot R_3$.

        $\mathrm{Id}$ est l'élément neutre~: $R\cdot\mathrm{Id}_F = \mathrm{Id}_ER=R$ (si $R$ est dans $E\times F$).
        Attention à bien modifier l'ensemble de l'identité en fonction qu'on soit à droite à gauche~!
    \end{props}
    \begin{lititle}
        Notations
    \end{lititle}
    Si $R$ est une relation sur $E$, on note~:
    $$ R^n = \underbrace{R\ldots R}_n = \left\{\begin{matrix}
    	\mathrm{Id}_E&\text{si}&n=0\\
	    R\cdot R^{n-1}&\text{sinon}
    \end{matrix}\right. $$
    \subsection{Réflexivité, symétrie, transitivité}
    \begin{defn}
        La fermeture d'une relation $R$ sur $E$ pour une propriété $P$ est l'ajout du moins d'éléments possibles dans
        $R$ pour que $R$ vérifie $P$.

        Si cette relation existe, c'est la plus petite relation $R'$ (au sens de l'inclusion) qui contient $R$ et qui
        vérifie $P$, i.e.
        \begin{itemize}
            \item $R\subseteq R'$
            \item $R'$ vérifie $P$
            \item si $R\subseteq R''$ et $R''$ vérifie $P$, alors $R'\subseteq R''$
        \end{itemize}
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Une relation binaire $R$ de $E$ est dite réflexive si, et seulement si~:
        $$ \forall x\in E,\quad (x,x)\in R$$
        i.e. tout élément est en relation avec lui-même.
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Une relation binaire $R$ de $E$ est dite symétrique si, et seulement si~:
        $$ \forall (x,y)\in E^2,\quad (x,y)\in R\implies (y,x)\in R $$
        i.e. un élément $x$ est en relation avec un élément $y$, l’élément $y$ est aussi en relation avec $x$.
    \end{defn}
    \begin{warn}
        $\leqslant$ n'est pas symétrique~!
    \end{warn}
    \begin{defn}
        Une relation binaire $R$ de $E$ est dite antisymétrique si, et seulement si~:
        $$ \forall (x,y)\in E^2,\quad (x,y)\in R\land (y,x)\in R \implies x=y$$
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Une relation binaire $R$ de $E$ est dite transitive si, et seulement si~:
        $$ \forall (x,y,z)\in E^3,\quad (x,y)\in R\land(y,z)\in R\implies(x,z)\in R $$
    \end{defn}
    \begin{defn}
        La fermeture transitive $R^+$ de $R$ est l'ajout des éléments nécessaires dans $R$ pour obtenir une relation
        transitive, i.e.
        $$ R^+ = \bigcup_{i\geqslant 1} R^i $$
    \end{defn}
    \begin{exemple}
        $S^+ = \{(n_1, n_2)|\exists n > 0, n_2=n_1+n\}$, ce qui est équivalent d'appliquer $S^n$ à $n_1$ pour obtenir
        $n_2$.
        Cela rend $S$ transitive.
    \end{exemple}
    \begin{defn}
        La fermeture réflexo-transitive $R^*$ de $R$ est l'ajout des éléments nécessaires dans $R$ pour obtenir une
        relation réflexive et transitive, i.e.
        $$ R^* = \bigcup_{i\geqslant0} R^i $$
    \end{defn}
    C'est un ajout de l'identité dans $R^+$.
    \begin{defn}
        Une relation binaire est dite totale si, et seulement si~:
        $$ \forall (x,y)\in E^2,\quad (x,y)\in E\lor(y,x)\in E $$
    \end{defn}
    \begin{warn}
        Ne pas confondre avec la symétrie~! C'est bien un "ou" ici.
    \end{warn}
    \subsection{Classes d'équivalence}
    \begin{defn}
        Une relation est dite d'équivalence si, et seulement si, elle est~:
        \begin{itemize}
            \item réflexive
            \item symétrique
            \item transitive
        \end{itemize}

        Une relation est dite d'ordre si, et seulement si, elle est~:
        \begin{itemize}
            \item réflexive
            \item anti-symétrique
            \item transitive
        \end{itemize}
        Comme on l'a vu dans la partie sur les ensembles.
    \end{defn}
    \begin{exemple}
        $\equiv$ (congruence) est une relation d'équivalence.

        $\leqslant$ est une relation d'ordre.

        $<$ n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas anti-symétrique~!
    \end{exemple}
    \begin{defn}
        Soit $R$ une relation d'équivalence sur $E$.
        La classe d'équivalence d'un élément $e\in E$ pour $R$ est noté $[e]_R$ et~:
        $$ [e]_R = \{e'\in E|(e,e')\in R\} $$
    \end{defn}
    $e\in[e]_R$ car $R$ est réflexive
    \begin{defn}
        On note $[e]_R$ la classe d'équivalence d'un élément $e\in E$ pour $R$, i.e.
        $$ [e]_R = \{e'\in E|(e,e')\in R\} $$
        On note $E_{/R}$  l'ensemble quotient de $E$ par $R$, i.e. l'ensemble des classes d'équivalence de $E$ pour $R$~:
        $$ E_{/R} = \{[e]_R|e\in E\} $$
    \end{defn}
    \begin{props}
        $E_{/R}$ forme une partition de $E$.
    \end{props}
    \section{Fonctions}
    \subsection{Relations et fonctions}
    \begin{defn}
        Une relation de $E$ vers $F$ est dite déterministe (ou fonctionnelle) si, et seulement si, tout élément de $E$
        est en relation avec au plus un élément de $F$, i.e.
        $$ \forall e\in E,\quad\forall(e_1,e_2)\in F^2,\quad(e,e_1)\in R\quad\land\quad(e,e_2)\in R \implies e_1=e_2 $$
    \end{defn}
    \begin{exemple}
        $S$ est fonctionnelle.

        $S^{-1}$ l'est aussi.

        $\leqslant$ ne l'est pas par contre.
    \end{exemple}
    \begin{props}
        Une relation déterministe est une fonction $f$.

        Si $f$ n'est pas définie pour tout l'ensemble de départ, on dit qu'elle est partielle.
    \end{props}
    \begin{proof}
        Une relation déterministe ne donne qu'une unique image.
    \end{proof}
    \begin{defn}
        Une relation $R$ de $E$ vers $F$ est dite totale à gauche si, et seulement si, chaque élément de $E$ est en
        relation avec au moins un élément de $F$~:
        $$ \forall e_1\in E,\quad\exists e_2\in F,\quad (e_1,e_2)\in R $$
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Une application est une relation déterministe et totale à gauche, on la note~:
        $$ f : E\to F $$
        i.e. tout élément de $E$ possède une (unique) image.
        On dit parfois qu'elle est une fonction totale.
    \end{defn}
    \subsection{Injections, surjections et bijections}
    \begin{defn}
        Une relation $R$ de $E$ dans $F$ est injective si, et seulement si~:
        $$ \forall e\in F,\quad\forall (e_1,e_2)\in E^2,\quad(e_1,e)\in R\land(e_2,e)\in R\implies e_1=e_2 $$
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Une relation $f$ de $E$ dans $F$ injective, déterministe et totale à gauche est une application injective (on
        dit injection), i.e.
        $$ \forall (e_1,e_2)\in E^2,\quad f(e_1)=f(e_2)\implies e_1=e_2 $$
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Une relation $R$ de $E$ dans $F$ est surjective si, et seulement si~:
        $$ \forall e_2\in F,\quad\exists e_1\in E^1,\quad(e_1,e_2)\in R $$
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Une relation $f$ de $E$ dans $F$ surjective, déterministe et totale à gauche est une application surjective (on
        dit surjection), i.e.
        $$ \forall e_2\in E,\quad \exists e_1\in E,\quad f(e_1)=e_2 $$
    \end{defn}
    \begin{defn}
        Une application injective et surjective est une application bijective (on dit bijective).

        Cela implique que tous les éléments de $E$ possèdent exactement un antécédent.
    \end{defn}
    \begin{thm}
        Il n'existe pas de bijection entre $E$ et $\mathcal{P}(E)$.
    \end{thm}
    \begin{props}
        Toute bijection $f$ possède une application réciproque notée $f^{-1}$.

        Cette inverse est une application si, et seulement si, $f$ est bijective.

        Si $f$ est bijective, $f^{-1}$ l'est aussi, alors $f\circ f^{-1} = \mathrm{Id}_F$ et$f^{-1}\circ f = \mathrm{Id}_E$.
    \end{props}
    \subsection{Ensembles dénombrables et monoïdes}
    \begin{defn}
        Un ensemble est dit dénombrable si, et seulement si, on peut numéroter tous ses éléments sans répétition et
        sans omission.
    \end{defn}
    \begin{props}
        Tout ensemble fini est dénombrable.

        Tout ensemble infini en bijection avec $\mathbb{N}$ est dénombrable.
    \end{props}
    Deux ensembles ont le même nombre d'élément s'ils sont en bijection.
    \begin{defn}
        Un monoïde est un ensemble $E$ muni d'une opération $\odot$ de $E\times E$ dans $E$ telle que~:
        \begin{itemize}
            \item elle est associative~: 
                $\forall (e_1,e_2,e_3)\in E^3,\quad (e_1\odot e_2)\odot e_3 = e_1\odot (e_2\odot e_3)$
            \item elle possède un élément neutre $e$~: $\forall e'\in E,\quad e\odot e'=e'\odot e = e'$
        \end{itemize}
    \end{defn}
\end{document}