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\title{Applications linéaires et sous espace vectoriel}
\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}

\begin{document}
	\maketitle
	\tableofcontents
	\newpage
	\section{Définition}
	\begin{defn}
		Une application $f$ est dite linéaire de $E$ dans $F$ (deux sev) si et seulement si :
		$$ \forall (a,b)\in E^2,\forall (x,y)\in E^2,\quad f(ax+by) = af(x)+bf(y) $$
	\end{defn}
	\begin{thm}
		Toute application linéaire est représentable par une matrice.
	\end{thm}
	\begin{exemple}
		Représentation d'une application linéaire de $\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ :
		$$ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} a_{1,1}x+a_{1,2}y+a_{1,3}z\\a_{2,1}x+a_{2,2}y+a_{2,3}z \end{pmatrix} $$
	\end{exemple}
	\begin{defn}
		L'image de $A$ une matrice représentant l'application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est notée $\mathrm{Im}A$ et :
		$$ \mathrm{Im}A =\{AX|X\in E\}$$
	\end{defn}
	L'image est l'ensemble des éléments atteints par l'application linéaire représentée par $A$.
	\begin{defn}
		Le noyau de $A$ une matrice représentant l'application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est noté $\mathrm{Ker}A$ et :
		$$ \mathrm{Ker}A=\{X| AX = 0, X\in E\} $$
	\end{defn}
	Le noyau est l'ensemble des éléments donnant 0 par $f$.
	\begin{defn}
		La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteur d'une base (sauf si la base vaut $\{0\}$, dans ce cas là sa dimension vaut 0). On note la dimension de $E$ $\mathrm{dim}E$.

		D'une manière formelle, soit $f$ une base de $E$, on a :
		$$ \mathrm{dim}(E)=\mathrm{card}(f) $$
		(où $\mathrm{card}$ est le cardinal de $f$)\\
		sauf si $f=\{0\}$, où dans ce cas $\mathrm{dim}(E)=0$. 
	\end{defn}
	\begin{thm}
		La dimension de l'image de l'application linéaire $f$ représentée par les matrices $AX$ est égal au rang de $A$, i.e.
		$$ \mathrm{dim}~\mathrm{Im}A = \mathrm{rg}A $$
	\end{thm}
	\begin{thm}[Théorème du rang]
		Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$.

		On a que :
		$$ \mathrm{dim}E = \mathrm{dim}~\mathrm{Im}A+\mathrm{dim}~\mathrm{Ker}A $$
	\end{thm}
	\begin{thm}
		Les vecteurs colonnes au dessus de la matrice $A$ se trouvant au dessus des pivots constituent une base de l'image.
	\end{thm}
	\begin{exemple}
		On a :
		$$ \begin{pmatrix} 1&1&0\\1&1&0 \end{pmatrix} $$
		Après le pivot de Gauss, on obtient :
		$$ \begin{pmatrix} \fbox{1}&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix} $$
		Donc, une base de l'image est $\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} $

		Comme $\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix}$ est déjà échelonné, on a que $\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ est une base de l'image.
	\end{exemple}
	\section{Sous espace vectoriel}
	\begin{defn}
		Un sous espace vectoriel $V$ est un espace vectoriel si et seulement si :
		\begin{itemize}
			\item $V\neq \varnothing$
			\item pour tout $v_1,v_2\in V$, on a $v_1+v_2$ est bien dans $V$
			\item pour tout $v$ dans $V$ et pour tout $\lambda$ dans $\mathbb{K}$, on a $\lambda v\in V$
		\end{itemize}
	\end{defn}
	\begin{props}
		L'image et le noyau d'une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels.
	\end{props}
	\begin{thm}
		Soit $F$ un sev de $E$ un ev.

		On a :
		\begin{itemize}
			\item $F$ admet une base
			\item toutes les bases de $E$ ont le même nombre de vecteurs
		\end{itemize}
	\end{thm}
	\begin{thm}
		Soit $L$ une famille libre.

		Si $L$ n'est pas une base, alors on peut rajouter des vecteurs dans $L$ pour que $L$ devienne une base. Ces vecteurs doivent être linéairement indépendant de tous les vecteurs de $L$.
	\end{thm}
	\begin{defn}
		La notation $\mathrm{Vect}(F)$ (où $F$ est une famille) est l'espace vectoriel généré par $F$ comme famille génératrice.
	\end{defn}
	\section{Déterminer une base du noyau}
	On a une base de l'image et on a $A$, la matrice représentant l'application linéaire à l'origine.

	On sait que la base du noyau possède $\mathrm{dim}(E)-\mathrm{dim}~\mathrm{Im}(A)$ (théorème du rang).
	
	Pour chaque colonne sans pivot, on détermine un vecteur de la base du noyau (voir \href{https://giphy.com/gifs/5cKfoYHIVk2kK5BE1G}{ce gif})
	\section{Diagonalisation}
	Une diagonalisation permet de simplifier une matrice et donc une application linéaire ! Il s'agit en réalité d'un double changement de base.
	\subsection{Changement de base}
	La matrice de passage de la base $B_1$ à la base $B_2$ permet de transformer les coordonnées d'un vecteur $v$ exprimées dans $B_1$ en les coordonnées de $v$ exprimées dans $B_2$.

	Pour passer de $B_1$ à $B_2$ (dans l'ensemble de définition de $f$) et pour passer de $C_1$ à $C_2$ (dans l'ensemble d'arrivé de $F$), on fait :
	$$ A' = Q^{-1}AP $$
	où $A$ est l'application linéaire, $P$ la matrice de passage de $B_1$ à $B_2$ et $Q$ la matrice de passage de $C_1$ à $C_2$.

	Si $f$ est un endomorphisme (ensemble de définition est le même que celui d'arrivé), alors on a :
	$$ A' = P^{-1}AP $$
	\subsection{Diagonalisation}
	Diagonaliser $A$ revient à trouver une nouvelle base $P$ telle que $A'=P^{-1}AP$ est une matrice diagonale.

	Les coefficients de $A'$ sont les racines du polynôme $\mathrm{det}(A-\lambda I_n)$ (on le note toujours $P_A(\lambda)$). Ces racines sont les valeurs propres (i.e. il existe $v$ tel que $f(v)=\lambda v$).

	Maintenant, on cherche les vecteurs $v$ tels que :
	$$ Av=\lambda_iv $$
	Pour se faire, on résout :
	$$ (A-\lambda_iI)v = 0 \quad\iff\quad\mathrm{Ker}(A-\lambda_iI)$$
	(ce qui est équivalent à l'équation du dessus)
	
	Ces solutions nous donnent maintenant la base $P$.
	\begin{exemple}
		Si $A = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$, alors ses valeurs propres sont $1$ et $-1$.

		On a pour $\lambda=1$ :
		$$\mathrm{Ker}(A-I) = \mathrm{Ker}\begin{pmatrix} -1&1\\1&-1 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$
		et pour $\lambda=-1$ :
		$$\mathrm{Ker}(A+I) = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}$$
		Ainsi,
		$$ P = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix}  $$
	\end{exemple}
	$P$ n'est pas unique !
\end{document}