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\title{Familles et bases}
\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}

\begin{document}
	\maketitle
	\tableofcontents
	\newpage
	\section{Familles}
	\begin{defn}
		Soit $(v_1,\ldots,v_p)$ une famille de vecteurs dans $\mathbb{R}^p$.

		La famille est dite liée s'il existe $(\lambda_1,\ldots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p$ non tous nuls tel que :
		$$ \sum_{i=1}^{p} \lambda_iv_i = 0 $$
	\end{defn}
	\begin{defn}
		Si une famille n'est pas liée, alors elle est libre.
	\end{defn}
	Le vecteur nul est toujours dans une famille liée !

	\begin{thm}
		La famille $A=(v_1,\ldots,v_q)$ est libre si et seulement si $\mathrm{rg}(A)=q$.
	\end{thm}

	\begin{defn}
		Une famille $A=(v_1,\ldots,v_q)$ dans $E$, un ev de $\mathbb{K}$, est génératrice si et seulement si :
		$$ \forall b\in E,\quad \exists(\lambda_1,\ldots,\lambda_q)\in\mathbb{K}^q,\quad \sum_{i=1}^{q} \lambda_iv_i = b $$
	\end{defn}
	Avec une famille génératrice, on peut générer tout l'espace.
	\section{Base}
	\begin{defn}
		Une base de $E$ est une famille libre et génératrice.

		On note $\mathrm{dim}(E)$ le cardinal d'une base de $E$.
	\end{defn}
	$\mathrm{dim}(E)$ est unique.

	\begin{thm}
		Soit $A$ une famille de vecteurs de cardinal $q$.

		Si le rang de $A$ vaut $\mathrm{dim}(E)$, alors $A$ est génératrice (i.e. $\forall b\in E,\exists X,\quad AX=b$).

		(Rappel) Si le rang de $A$ vaut $q$, alors $A$ est libre (i.e. $\exists!X,\quad AX=0$).
	\end{thm}
	Une matrice $A$ carrée de $\mathcal{M}_n$ est une base si et seulement si son rang vaut $n$.

	On remarque donc que $A$ est une base s'il existe des opérations élémentaires permettant d'écrire une multiplication des opérations élémentaires successives par $A$ égal à $I_n$. Cela montre que $A$ est inversible et que $A^{-1}$ est la multiplication des opérations élémentaires successives.

	Pour trouver l'inverse, on fait le pivot de Gauss sur la matrice et sur la matrice identité correspondante.

	\begin{exemple}[Technique pour trouver l'inverse]
		On a :
		$$ \begin{pmatrix} 1&3&0&|&1&0&0\\ 2&1&0&|&0&1&0\\0&0&1&|&0&0&1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1&3&0&|&1&0&0\\ 0&-5&0&|&-2&1&0\\0&0&1&|&0&0&1 \end{pmatrix} $$
		$$\rightarrow \begin{pmatrix} 1&3&0&|&1&0&0\\ 0&1&0&|&2/5&-1/5&0\\0&0&1&|&0&0&1 \end{pmatrix}\rightarrow  \begin{pmatrix} 1&0&0&|&-1/5&3/5&0\\ 0&1&0&|&2/5&-1/5&0\\0&0&1&|&0&0&1 \end{pmatrix}$$
		Ainsi, on a que la matrice $\small\begin{pmatrix}-1/5&3/5&0\\2/5&-1/5&0\\0&0&1 \end{pmatrix}$ est l'inverse de la première matrice. 

		NLDR: les étapes sont foireuses mais on a la marche à suivre
	\end{exemple}
\end{document}