From 77bfb2ccd3152c1f41d43dc192ba86ca8fd0f72f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Anhgelus Morhtuuzh Date: Fri, 21 Feb 2025 17:50:16 +0100 Subject: =?UTF-8?q?Ajout=20de=20la=20semaine=20des=20cours=20du=2014=20au?= =?UTF-8?q?=2021=20f=C3=A9vrier?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../3- applications lin\303\251aires/cours.out" | 3 - .../3- applications lin\303\251aires/cours.pdf" | Bin 159809 -> 0 bytes .../3- applications lin\303\251aires/cours.tex" | 234 ----------------- semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.out | 6 + semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.pdf | Bin 0 -> 177712 bytes semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.tex | 285 +++++++++++++++++++++ semestre 2/maths/td/02-20.pdf | Bin 0 -> 119214 bytes semestre 2/maths/td/02-20.tex | 186 ++++++++++++++ 8 files changed, 477 insertions(+), 237 deletions(-) delete mode 100644 "semestre 2/maths/3- applications lin\303\251aires/cours.out" delete mode 100644 "semestre 2/maths/3- applications lin\303\251aires/cours.pdf" delete mode 100644 "semestre 2/maths/3- applications lin\303\251aires/cours.tex" create mode 100644 semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.out create mode 100644 semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.pdf create mode 100644 semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.tex create mode 100644 semestre 2/maths/td/02-20.pdf create mode 100644 semestre 2/maths/td/02-20.tex (limited to 'semestre 2/maths') diff --git "a/semestre 2/maths/3- applications lin\303\251aires/cours.out" "b/semestre 2/maths/3- applications lin\303\251aires/cours.out" deleted file mode 100644 index 3ea312e..0000000 --- "a/semestre 2/maths/3- applications lin\303\251aires/cours.out" +++ /dev/null @@ -1,3 +0,0 @@ -\BOOKMARK [1][-]{section.1}{\376\377\000D\000\351\000f\000i\000n\000i\000t\000i\000o\000n}{}% 1 -\BOOKMARK [1][-]{section.2}{\376\377\000S\000o\000u\000s\000\040\000e\000s\000p\000a\000c\000e\000\040\000v\000e\000c\000t\000o\000r\000i\000e\000l}{}% 2 -\BOOKMARK [1][-]{section.3}{\376\377\000D\000\351\000t\000e\000r\000m\000i\000n\000e\000r\000\040\000u\000n\000e\000\040\000b\000a\000s\000e\000\040\000d\000u\000\040\000n\000o\000y\000a\000u}{}% 3 diff --git "a/semestre 2/maths/3- applications lin\303\251aires/cours.pdf" "b/semestre 2/maths/3- applications lin\303\251aires/cours.pdf" deleted file mode 100644 index f76f996..0000000 Binary files "a/semestre 2/maths/3- applications lin\303\251aires/cours.pdf" and /dev/null differ diff --git "a/semestre 2/maths/3- applications lin\303\251aires/cours.tex" "b/semestre 2/maths/3- applications lin\303\251aires/cours.tex" deleted file mode 100644 index e8c5963..0000000 --- "a/semestre 2/maths/3- applications lin\303\251aires/cours.tex" +++ /dev/null @@ -1,234 +0,0 @@ -%%===================================================================================== -%% -%% Filename: cours.tex -%% -%% Description: -%% -%% Version: 1.0 -%% Created: 03/06/2024 -%% Revision: none -%% -%% Author: YOUR NAME (), -%% Organization: -%% Copyright: Copyright (c) 2024, YOUR NAME -%% -%% Notes: -%% -%%===================================================================================== -\documentclass[a4paper, titlepage]{article} - -\usepackage[utf8]{inputenc} -\usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage{textcomp} -\usepackage[french]{babel} -\usepackage{amsmath, amssymb} -\usepackage{amsthm} -\usepackage[svgnames]{xcolor} -\usepackage{thmtools} -\usepackage{lipsum} -\usepackage{framed} -\usepackage{parskip} -\usepackage{titlesec} -\usepackage{hyperref} - -\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} - -% figure support -\usepackage{import} -\usepackage{xifthen} -\pdfminorversion=7 -\usepackage{pdfpages} -\usepackage{transparent} -\newcommand{\incfig}[1]{% - \def\svgwidth{\columnwidth} - \import{./figures/}{#1.pdf_tex} -} - -\pdfsuppresswarningpagegroup=1 - -\colorlet{defn-color}{DarkBlue} -\colorlet{props-color}{Blue} -\colorlet{warn-color}{Red} -\colorlet{exemple-color}{Green} -\colorlet{corol-color}{Orange} -\newenvironment{defn-leftbar}{% - \def\FrameCommand{{\color{defn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% - \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% - {\endMakeFramed} -\newenvironment{warn-leftbar}{% - \def\FrameCommand{{\color{warn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% - 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-\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}} - -\usepackage{LobsterTwo} -\titleformat{\section}{\newpage\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{} -\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{} -\titleformat{\subsubsection}{\vspace{1em}\LobsterTwo \large\bfseries}{\thesubsubsection.}{1em}{} - -\newenvironment{lititle}% -{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}% -{\\} - -\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}} - -\title{Applications linéaires et sous espace vectoriel} -\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}} - -\begin{document} - \maketitle - \tableofcontents - \newpage - \section{Définition} - \begin{defn} - Une application $f$ est dite linéaire de $E$ dans $F$ (deux sev) si et seulement si : - $$ \forall (a,b)\in E^2,\forall (x,y)\in E^2,\quad f(ax+by) = af(x)+bf(y) $$ - \end{defn} - \begin{thm} - Toute application linéaire est représentable par une matrice. - \end{thm} - \begin{exemple} - Représentation d'une application linéaire de $\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ : - $$ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1}x+a_{1,2}y+a_{1,3}z\\a_{2,1}x+a_{2,2}y+a_{2,3}z \end{pmatrix} $$ - \end{exemple} - \begin{defn} - L'image de $A$ une matrice représentant l'application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est notée $\mathrm{Im}A$ et : - $$ \mathrm{Im}A =\{AX|X\in E\}$$ - \end{defn} - L'image est l'ensemble des éléments atteints par l'application linéaire représentée par $A$. - \begin{defn} - Le noyau de $A$ une matrice représentant l'application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est noté $\mathrm{Ker}A$ et : - $$ \mathrm{Ker}A=\{X| AX = 0, X\in E\} $$ - \end{defn} - Le noyau est l'ensemble des éléments donnant 0 par $f$. - \begin{defn} - La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteur d'une base (sauf si la base vaut $\{0\}$, dans ce cas là sa dimension vaut 0). On note la dimension de $E$ $\mathrm{dim}E$. - - D'une manière formelle, soit $f$ une base de $E$, on a : - $$ \mathrm{dim}(E)=\mathrm{card}(f) $$ - (où $\mathrm{card}$ est le cardinal de $f$)\\ - sauf si $f=\{0\}$, où dans ce cas $\mathrm{dim}(E)=0$. - \end{defn} - \begin{thm} - La dimension de l'image de l'application linéaire $f$ représentée par les matrices $AX$ est égal au rang de $A$, i.e. - $$ \mathrm{dim}~\mathrm{Im}A = \mathrm{rg}A $$ - \end{thm} - \begin{thm}[Théorème du rang] - Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. - - On a que : - $$ \mathrm{dim}E = \mathrm{dim}~\mathrm{Im}A+\mathrm{dim}~\mathrm{Ker}A $$ - \end{thm} - \begin{thm} - Les vecteurs colonnes au dessus de la matrice $A$ se trouvant au dessus des pivots constituent une base de l'image. - \end{thm} - \begin{exemple} - On a : - $$ \begin{pmatrix} 1&1&0\\1&1&0 \end{pmatrix} $$ - Après le pivot de Gauss, on obtient : - $$ \begin{pmatrix} \fbox{1}&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix} $$ - Donc, une base de l'image est $\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} $ - - Comme $\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix}$ est déjà échelonné, on a que $\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ est une base de l'image. - \end{exemple} - \section{Sous espace vectoriel} - \begin{defn} - Un sous espace vectoriel $V$ est un espace vectoriel si et seulement si : - \begin{itemize} - \item $V\neq \varnothing$ - \item pour tout $v_1,v_2\in V$, on a $v_1+v_2$ est bien dans $V$ - \item pour tout $v$ dans $V$ et pour tout $\lambda$ dans $\mathbb{K}$, on a $\lambda v\in V$ - \end{itemize} - \end{defn} - \begin{props} - L'image et le noyau d'une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels. - \end{props} - \section{Déterminer une base du noyau} - On a une base de l'image et on a $A$, la matrice représentant l'application linéaire à l'origine. - - On sait que la base du noyau possède $\mathrm{dim}(E)-\mathrm{dim}~\mathrm{Im}(A)$ (théorème du rang). - - Pour chaque colonne sans pivot, on détermine un vecteur de la base du noyau (voir \href{}{ce gif}) -\end{document} diff --git a/semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.out b/semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.out new file mode 100644 index 0000000..faa5447 --- /dev/null +++ b/semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.out @@ -0,0 +1,6 @@ +\BOOKMARK [1][-]{section.1}{\376\377\000D\000\351\000f\000i\000n\000i\000t\000i\000o\000n}{}% 1 +\BOOKMARK [1][-]{section.2}{\376\377\000S\000o\000u\000s\000\040\000e\000s\000p\000a\000c\000e\000\040\000v\000e\000c\000t\000o\000r\000i\000e\000l}{}% 2 +\BOOKMARK [1][-]{section.3}{\376\377\000D\000\351\000t\000e\000r\000m\000i\000n\000e\000r\000\040\000u\000n\000e\000\040\000b\000a\000s\000e\000\040\000d\000u\000\040\000n\000o\000y\000a\000u}{}% 3 +\BOOKMARK [1][-]{section.4}{\376\377\000D\000i\000a\000g\000o\000n\000a\000l\000i\000s\000a\000t\000i\000o\000n}{}% 4 +\BOOKMARK 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Organization: +%% Copyright: Copyright (c) 2024, YOUR NAME +%% +%% Notes: +%% +%%===================================================================================== +\documentclass[a4paper, titlepage]{article} + +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{textcomp} +\usepackage[french]{babel} +\usepackage{amsmath, amssymb} +\usepackage{amsthm} +\usepackage[svgnames]{xcolor} +\usepackage{thmtools} +\usepackage{lipsum} +\usepackage{framed} +\usepackage{parskip} +\usepackage{titlesec} +\usepackage{hyperref} + +\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} + +% figure support +\usepackage{import} +\usepackage{xifthen} +\pdfminorversion=7 +\usepackage{pdfpages} +\usepackage{transparent} +\newcommand{\incfig}[1]{% + \def\svgwidth{\columnwidth} + \import{./figures/}{#1.pdf_tex} +} + +\pdfsuppresswarningpagegroup=1 + +\colorlet{defn-color}{DarkBlue} +\colorlet{props-color}{Blue} +\colorlet{warn-color}{Red} +\colorlet{exemple-color}{Green} +\colorlet{corol-color}{Orange} 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notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{defn-color}Définition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{defn-leftbar},% + postfoothook=\end{defn-leftbar},% +]{better-defn} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{warn-color}Attention\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{warn-leftbar},% + postfoothook=\end{warn-leftbar},% +]{better-warn} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% +notebraces={}{},% +headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{exemple-color}Exemple~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{exemple-leftbar},% + postfoothook=\end{exemple-leftbar},% +]{better-exemple} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{props-color}Proposition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},% + postfoothook=\end{props-leftbar},% +]{better-props} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{props-color}Théorème~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},% + postfoothook=\end{props-leftbar},% +]{better-thm} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{corol-color}Corollaire~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{corol-leftbar},% + postfoothook=\end{corol-leftbar},% +]{better-corol} + +\declaretheorem[style=better-defn]{defn} 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sous espace vectoriel} +\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}} + +\begin{document} + \maketitle + \tableofcontents + \newpage + \section{Définition} + \begin{defn} + Une application $f$ est dite linéaire de $E$ dans $F$ (deux sev) si et seulement si : + $$ \forall (a,b)\in E^2,\forall (x,y)\in E^2,\quad f(ax+by) = af(x)+bf(y) $$ + \end{defn} + \begin{thm} + Toute application linéaire est représentable par une matrice. + \end{thm} + \begin{exemple} + Représentation d'une application linéaire de $\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ : + $$ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1}x+a_{1,2}y+a_{1,3}z\\a_{2,1}x+a_{2,2}y+a_{2,3}z \end{pmatrix} $$ + \end{exemple} + \begin{defn} + L'image de $A$ une matrice représentant l'application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est notée $\mathrm{Im}A$ et : + $$ \mathrm{Im}A =\{AX|X\in E\}$$ + \end{defn} + L'image est l'ensemble des éléments atteints par l'application linéaire représentée par $A$. + \begin{defn} + Le noyau de $A$ une matrice représentant l'application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est noté $\mathrm{Ker}A$ et : + $$ \mathrm{Ker}A=\{X| AX = 0, X\in E\} $$ + \end{defn} + Le noyau est l'ensemble des éléments donnant 0 par $f$. + \begin{defn} + La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteur d'une base (sauf si la base vaut $\{0\}$, dans ce cas là sa dimension vaut 0). On note la dimension de $E$ $\mathrm{dim}E$. + + D'une manière formelle, soit $f$ une base de $E$, on a : + $$ \mathrm{dim}(E)=\mathrm{card}(f) $$ + (où $\mathrm{card}$ est le cardinal de $f$)\\ + sauf si $f=\{0\}$, où dans ce cas $\mathrm{dim}(E)=0$. + \end{defn} + \begin{thm} + La dimension de l'image de l'application linéaire $f$ représentée par les matrices $AX$ est égal au rang de $A$, i.e. + $$ \mathrm{dim}~\mathrm{Im}A = \mathrm{rg}A $$ + \end{thm} + \begin{thm}[Théorème du rang] + Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. + + On a que : + $$ \mathrm{dim}E = \mathrm{dim}~\mathrm{Im}A+\mathrm{dim}~\mathrm{Ker}A $$ + \end{thm} + \begin{thm} + Les vecteurs colonnes au dessus de la matrice $A$ se trouvant au dessus des pivots constituent une base de l'image. + \end{thm} + \begin{exemple} + On a : + $$ \begin{pmatrix} 1&1&0\\1&1&0 \end{pmatrix} $$ + Après le pivot de Gauss, on obtient : + $$ \begin{pmatrix} \fbox{1}&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix} $$ + Donc, une base de l'image est $\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} $ + + Comme $\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix}$ est déjà échelonné, on a que $\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ est une base de l'image. + \end{exemple} + \section{Sous espace vectoriel} + \begin{defn} + Un sous espace vectoriel $V$ est un espace vectoriel si et seulement si : + \begin{itemize} + \item $V\neq \varnothing$ + \item pour tout $v_1,v_2\in V$, on a $v_1+v_2$ est bien dans $V$ + \item pour tout $v$ dans $V$ et pour tout $\lambda$ dans $\mathbb{K}$, on a $\lambda v\in V$ + \end{itemize} + \end{defn} + \begin{props} + L'image et le noyau d'une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels. + \end{props} + \begin{thm} + Soit $F$ un sev de $E$ un ev. + + On a : + \begin{itemize} + \item $F$ admet une base + \item toutes les bases de $E$ ont le même nombre de vecteurs + \end{itemize} + \end{thm} + \begin{thm} + Soit $L$ une famille libre. + + Si $L$ n'est pas une base, alors on peut rajouter des vecteurs dans $L$ pour que $L$ devienne une base. Ces vecteurs doivent être linéairement indépendant de tous les vecteurs de $L$. + \end{thm} + \begin{defn} + La notation $\mathrm{Vect}(F)$ (où $F$ est une famille) est l'espace vectoriel généré par $F$ comme famille génératrice. + \end{defn} + \section{Déterminer une base du noyau} + On a une base de l'image et on a $A$, la matrice représentant l'application linéaire à l'origine. + + On sait que la base du noyau possède $\mathrm{dim}(E)-\mathrm{dim}~\mathrm{Im}(A)$ (théorème du rang). + + Pour chaque colonne sans pivot, on détermine un vecteur de la base du noyau (voir \href{https://giphy.com/gifs/5cKfoYHIVk2kK5BE1G}{ce gif}) + \section{Diagonalisation} + Une diagonalisation permet de simplifier une matrice et donc une application linéaire ! Il s'agit en réalité d'un double changement de base. + \subsection{Changement de base} + La matrice de passage de la base $B_1$ à la base $B_2$ permet de transformer les coordonnées d'un vecteur $v$ exprimées dans $B_1$ en les coordonnées de $v$ exprimées dans $B_2$. + + Pour passer de $B_1$ à $B_2$ (dans l'ensemble de définition de $f$) et pour passer de $C_1$ à $C_2$ (dans l'ensemble d'arrivé de $F$), on fait : + $$ A' = Q^{-1}AP $$ + où $A$ est l'application linéaire, $P$ la matrice de passage de $B_1$ à $B_2$ et $Q$ la matrice de passage de $C_1$ à $C_2$. + + Si $f$ est un endomorphisme (ensemble de définition est le même que celui d'arrivé), alors on a : + $$ A' = P^{-1}AP $$ + \subsection{Diagonalisation} + Diagonaliser $A$ revient à trouver une nouvelle base $P$ telle que $A'=P^{-1}AP$ est une matrice diagonale. + + Les coefficients de $A'$ sont les racines du polynôme $\mathrm{det}(A-\lambda I_n)$ (on le note toujours $P_A(\lambda)$). Ces racines sont les valeurs propres (i.e. il existe $v$ tel que $f(v)=\lambda v$). + + Maintenant, on cherche les vecteurs $v$ tels que : + $$ Av=\lambda_iv $$ + Pour se faire, on résout : + $$ (A-\lambda_iI)v = 0 \quad\iff\quad\mathrm{Ker}(A-\lambda_iI)$$ + (ce qui est équivalent à l'équation du dessus) + + Ces solutions nous donnent maintenant la base $P$. + \begin{exemple} + Si $A = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$, alors ses valeurs propres sont $1$ et $-1$. + + On a pour $\lambda=1$ : + $$\mathrm{Ker}(A-I) = \mathrm{Ker}\begin{pmatrix} -1&1\\1&-1 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$ + et pour $\lambda=-1$ : + $$\mathrm{Ker}(A+I) = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}$$ + Ainsi, + $$ P = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix} $$ + \end{exemple} + $P$ n'est pas unique ! +\end{document} diff --git a/semestre 2/maths/td/02-20.pdf b/semestre 2/maths/td/02-20.pdf new file mode 100644 index 0000000..1be2bc1 Binary files /dev/null and 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+\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} + +% figure support +\usepackage{import} +\usepackage{xifthen} +\pdfminorversion=7 +\usepackage{pdfpages} +\usepackage{transparent} +\newcommand{\incfig}[1]{% + \def\svgwidth{\columnwidth} + \import{./figures/}{#1.pdf_tex} +} + +\pdfsuppresswarningpagegroup=1 + +\colorlet{defn-color}{DarkBlue} +\colorlet{props-color}{Blue} +\colorlet{warn-color}{Red} +\colorlet{exemple-color}{Green} +\colorlet{corol-color}{Orange} +\newenvironment{defn-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{defn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{warn-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{warn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{exemple-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{exemple-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + 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preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{warn-leftbar},% + postfoothook=\end{warn-leftbar},% +]{better-warn} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% +notebraces={}{},% +headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{exemple-color}Exemple~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{exemple-leftbar},% + postfoothook=\end{exemple-leftbar},% +]{better-exemple} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{props-color}Proposition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},% + postfoothook=\end{props-leftbar},% +]{better-props} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{props-color}Théorème~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},% + postfoothook=\end{props-leftbar},% +]{better-thm} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{corol-color}Corollaire~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{corol-leftbar},% + postfoothook=\end{corol-leftbar},% +]{better-corol} + +\declaretheorem[style=better-defn]{defn} +\declaretheorem[style=better-warn]{warn} +\declaretheorem[style=better-exemple]{exemple} +\declaretheorem[style=better-corol]{corol} +\declaretheorem[style=better-props, numberwithin=defn]{props} +\declaretheorem[style=better-thm, sibling=props]{thm} +\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection] +%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn] + +\newenvironment{system}% +{\left\lbrace\begin{align}}% +{\end{align}\right.} + +\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}} + +\usepackage{LobsterTwo} +\titleformat{\section}{\newpage\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{} +\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{} +\titleformat{\subsubsection}{\vspace{1em}\LobsterTwo \large\bfseries}{\thesubsubsection.}{1em}{} + +\newenvironment{lititle}% +{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}% +{\\} + +\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}} + +\title{TD du 20 février} +\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}} + +\begin{document} + \maketitle + \newpage + \section{Fin de la feuille du 13} + \subsection*{Exercice 7} + $\lambda v_1+v_2 = (\lambda x_1+x_2,\lambda y_1 + y_2)$\\ + $\lambda y_1+y_2=\lambda x_1+x_2+\lambda+1 \neq \lambda x_1+x_2+1$\\ + donc $A$ n'est pas un sev. + + $\lambda v_1+v_2 = (\lambda x_1 + x_2, \lambda x_1 + x_2)$\\ + donc $A_1$ est un sev. + + $\lambda v_1+v_2 = (\lambda x_1+x_2,\lambda y_1 + y_2)$\\ + $\lambda y_1 = \lambda^2 x^2 \neq x^2$\\ + donc $A_2$ n'est pas un sev. + \section{Feuille du 20} + \subsection*{Exercice 2} + $g\circ f (x,y,z) = (z-2y-x, 2x-y+z)$ + + $BA = \begin{pmatrix} -1&-2&1\\2&-1&1 \end{pmatrix} $ + \subsection*{Exercice 3} + Par le théorème du rang, on a que la dimension du Ker est 1. La représentation matricielle de $f$ est : + $$ \begin{pmatrix} 1&-1&0\\0&1&-1 \end{pmatrix} $$ + $$x-y = 0 \quad\land\quad y-z = 0 \iff x = y = z$$ + Donc $\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Vect}((1,1,1)) = \{(a,a,a)|a\in\mathbb{R}\}$ + + Comme $f$ est de rang $2$, alors $f$ est surjective (tous les éléments sont atteints), mais pas injective. +\end{document} -- cgit v1.2.3