From 77bfb2ccd3152c1f41d43dc192ba86ca8fd0f72f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Anhgelus Morhtuuzh Date: Fri, 21 Feb 2025 17:50:16 +0100 Subject: =?UTF-8?q?Ajout=20de=20la=20semaine=20des=20cours=20du=2014=20au?= =?UTF-8?q?=2021=20f=C3=A9vrier?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.tex | 285 +++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 285 insertions(+) create mode 100644 semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.tex (limited to 'semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.tex') diff --git a/semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.tex b/semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.tex new file mode 100644 index 0000000..ace0c95 --- /dev/null +++ b/semestre 2/maths/3- espaces vectoriels/cours.tex @@ -0,0 +1,285 @@ +%%===================================================================================== +%% +%% Filename: cours.tex +%% +%% Description: +%% +%% Version: 1.0 +%% Created: 03/06/2024 +%% Revision: none +%% +%% Author: YOUR NAME (), +%% Organization: +%% Copyright: Copyright (c) 2024, YOUR NAME +%% +%% Notes: +%% +%%===================================================================================== +\documentclass[a4paper, titlepage]{article} + +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{textcomp} +\usepackage[french]{babel} +\usepackage{amsmath, amssymb} +\usepackage{amsthm} +\usepackage[svgnames]{xcolor} +\usepackage{thmtools} +\usepackage{lipsum} +\usepackage{framed} +\usepackage{parskip} +\usepackage{titlesec} +\usepackage{hyperref} + +\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} + +% figure support +\usepackage{import} +\usepackage{xifthen} +\pdfminorversion=7 +\usepackage{pdfpages} +\usepackage{transparent} +\newcommand{\incfig}[1]{% + \def\svgwidth{\columnwidth} + \import{./figures/}{#1.pdf_tex} +} + +\pdfsuppresswarningpagegroup=1 + +\colorlet{defn-color}{DarkBlue} +\colorlet{props-color}{Blue} +\colorlet{warn-color}{Red} +\colorlet{exemple-color}{Green} +\colorlet{corol-color}{Orange} +\newenvironment{defn-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{defn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{warn-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{warn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{exemple-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{exemple-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{props-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{props-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{corol-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{corol-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} + +\def \freespace {1em} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{defn-color}Définition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{defn-leftbar},% + postfoothook=\end{defn-leftbar},% +]{better-defn} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{warn-color}Attention\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{warn-leftbar},% + postfoothook=\end{warn-leftbar},% +]{better-warn} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% +notebraces={}{},% +headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{exemple-color}Exemple~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{exemple-leftbar},% + postfoothook=\end{exemple-leftbar},% +]{better-exemple} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{props-color}Proposition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},% + postfoothook=\end{props-leftbar},% +]{better-props} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{props-color}Théorème~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},% + postfoothook=\end{props-leftbar},% +]{better-thm} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{corol-color}Corollaire~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{corol-leftbar},% + postfoothook=\end{corol-leftbar},% 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\footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}} + +\title{Applications linéaires et sous espace vectoriel} +\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}} + +\begin{document} + \maketitle + \tableofcontents + \newpage + \section{Définition} + \begin{defn} + Une application $f$ est dite linéaire de $E$ dans $F$ (deux sev) si et seulement si : + $$ \forall (a,b)\in E^2,\forall (x,y)\in E^2,\quad f(ax+by) = af(x)+bf(y) $$ + \end{defn} + \begin{thm} + Toute application linéaire est représentable par une matrice. + \end{thm} + \begin{exemple} + Représentation d'une application linéaire de $\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ : + $$ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix} a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1}x+a_{1,2}y+a_{1,3}z\\a_{2,1}x+a_{2,2}y+a_{2,3}z \end{pmatrix} $$ + \end{exemple} + \begin{defn} + L'image de $A$ une matrice représentant l'application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est notée $\mathrm{Im}A$ et : + $$ \mathrm{Im}A =\{AX|X\in E\}$$ + \end{defn} + L'image est l'ensemble des éléments atteints par l'application linéaire représentée par $A$. + \begin{defn} + Le noyau de $A$ une matrice représentant l'application linéaire $f$ de $E$ dans $F$ est noté $\mathrm{Ker}A$ et : + $$ \mathrm{Ker}A=\{X| AX = 0, X\in E\} $$ + \end{defn} + Le noyau est l'ensemble des éléments donnant 0 par $f$. + \begin{defn} + La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteur d'une base (sauf si la base vaut $\{0\}$, dans ce cas là sa dimension vaut 0). On note la dimension de $E$ $\mathrm{dim}E$. + + D'une manière formelle, soit $f$ une base de $E$, on a : + $$ \mathrm{dim}(E)=\mathrm{card}(f) $$ + (où $\mathrm{card}$ est le cardinal de $f$)\\ + sauf si $f=\{0\}$, où dans ce cas $\mathrm{dim}(E)=0$. + \end{defn} + \begin{thm} + La dimension de l'image de l'application linéaire $f$ représentée par les matrices $AX$ est égal au rang de $A$, i.e. + $$ \mathrm{dim}~\mathrm{Im}A = \mathrm{rg}A $$ + \end{thm} + \begin{thm}[Théorème du rang] + Soit $f$ une application linéaire de $E$ dans $F$. + + On a que : + $$ \mathrm{dim}E = \mathrm{dim}~\mathrm{Im}A+\mathrm{dim}~\mathrm{Ker}A $$ + \end{thm} + \begin{thm} + Les vecteurs colonnes au dessus de la matrice $A$ se trouvant au dessus des pivots constituent une base de l'image. + \end{thm} + \begin{exemple} + On a : + $$ \begin{pmatrix} 1&1&0\\1&1&0 \end{pmatrix} $$ + Après le pivot de Gauss, on obtient : + $$ \begin{pmatrix} \fbox{1}&1&0\\0&0&0 \end{pmatrix} $$ + Donc, une base de l'image est $\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} $ + + Comme $\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0 \end{pmatrix}$ est déjà échelonné, on a que $\begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix}$ est une base de l'image. + \end{exemple} + \section{Sous espace vectoriel} + \begin{defn} + Un sous espace vectoriel $V$ est un espace vectoriel si et seulement si : + \begin{itemize} + \item $V\neq \varnothing$ + \item pour tout $v_1,v_2\in V$, on a $v_1+v_2$ est bien dans $V$ + \item pour tout $v$ dans $V$ et pour tout $\lambda$ dans $\mathbb{K}$, on a $\lambda v\in V$ + \end{itemize} + \end{defn} + \begin{props} + L'image et le noyau d'une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels. + \end{props} + \begin{thm} + Soit $F$ un sev de $E$ un ev. + + On a : + \begin{itemize} + \item $F$ admet une base + \item toutes les bases de $E$ ont le même nombre de vecteurs + \end{itemize} + \end{thm} + \begin{thm} + Soit $L$ une famille libre. + + Si $L$ n'est pas une base, alors on peut rajouter des vecteurs dans $L$ pour que $L$ devienne une base. Ces vecteurs doivent être linéairement indépendant de tous les vecteurs de $L$. + \end{thm} + \begin{defn} + La notation $\mathrm{Vect}(F)$ (où $F$ est une famille) est l'espace vectoriel généré par $F$ comme famille génératrice. + \end{defn} + \section{Déterminer une base du noyau} + On a une base de l'image et on a $A$, la matrice représentant l'application linéaire à l'origine. + + On sait que la base du noyau possède $\mathrm{dim}(E)-\mathrm{dim}~\mathrm{Im}(A)$ (théorème du rang). + + Pour chaque colonne sans pivot, on détermine un vecteur de la base du noyau (voir \href{https://giphy.com/gifs/5cKfoYHIVk2kK5BE1G}{ce gif}) + \section{Diagonalisation} + Une diagonalisation permet de simplifier une matrice et donc une application linéaire ! Il s'agit en réalité d'un double changement de base. + \subsection{Changement de base} + La matrice de passage de la base $B_1$ à la base $B_2$ permet de transformer les coordonnées d'un vecteur $v$ exprimées dans $B_1$ en les coordonnées de $v$ exprimées dans $B_2$. + + Pour passer de $B_1$ à $B_2$ (dans l'ensemble de définition de $f$) et pour passer de $C_1$ à $C_2$ (dans l'ensemble d'arrivé de $F$), on fait : + $$ A' = Q^{-1}AP $$ + où $A$ est l'application linéaire, $P$ la matrice de passage de $B_1$ à $B_2$ et $Q$ la matrice de passage de $C_1$ à $C_2$. + + Si $f$ est un endomorphisme (ensemble de définition est le même que celui d'arrivé), alors on a : + $$ A' = P^{-1}AP $$ + \subsection{Diagonalisation} + Diagonaliser $A$ revient à trouver une nouvelle base $P$ telle que $A'=P^{-1}AP$ est une matrice diagonale. + + Les coefficients de $A'$ sont les racines du polynôme $\mathrm{det}(A-\lambda I_n)$ (on le note toujours $P_A(\lambda)$). Ces racines sont les valeurs propres (i.e. il existe $v$ tel que $f(v)=\lambda v$). + + Maintenant, on cherche les vecteurs $v$ tels que : + $$ Av=\lambda_iv $$ + Pour se faire, on résout : + $$ (A-\lambda_iI)v = 0 \quad\iff\quad\mathrm{Ker}(A-\lambda_iI)$$ + (ce qui est équivalent à l'équation du dessus) + + Ces solutions nous donnent maintenant la base $P$. + \begin{exemple} + Si $A = \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$, alors ses valeurs propres sont $1$ et $-1$. + + On a pour $\lambda=1$ : + $$\mathrm{Ker}(A-I) = \mathrm{Ker}\begin{pmatrix} -1&1\\1&-1 \end{pmatrix} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$ + et pour $\lambda=-1$ : + $$\mathrm{Ker}(A+I) = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix}$$ + Ainsi, + $$ P = \begin{pmatrix} 1&1\\1&-1 \end{pmatrix} $$ + \end{exemple} + $P$ n'est pas unique ! +\end{document} -- cgit v1.2.3