From f1c0d57b427846a7aa9807b5b7bb4289212eed72 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Anhgelus Morhtuuzh <anhgelus@anhgelus.world>
Date: Fri, 31 Jan 2025 15:34:40 +0100
Subject: Ajout du premier semestre

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 "semestre 1/maths/kh\303\264lles/formalisme.tex" | 192 +++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 192 insertions(+)
 create mode 100644 "semestre 1/maths/kh\303\264lles/formalisme.tex"

(limited to 'semestre 1/maths/khôlles/formalisme.tex')

diff --git "a/semestre 1/maths/kh\303\264lles/formalisme.tex" "b/semestre 1/maths/kh\303\264lles/formalisme.tex"
new file mode 100644
index 0000000..ea9e9ea
--- /dev/null
+++ "b/semestre 1/maths/kh\303\264lles/formalisme.tex"	
@@ -0,0 +1,192 @@
+%%=====================================================================================
+%%
+%%       Filename:  formalisme.tex
+%%
+%%    Description:  
+%%
+%%        Version:  1.0
+%%        Created:  06/12/2024
+%%       Revision:  none
+%%
+%%         Author:  YOUR NAME (), 
+%%   Organization:  
+%%      Copyright:  Copyright (c) 2024, YOUR NAME
+%%
+%%          Notes:  
+%%
+%%=====================================================================================
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+
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+
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+
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+{\left\lbrace\begin{align}}%
+{\end{align}\right.}
+
+\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}}
+
+\usepackage{LobsterTwo}
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+{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}%
+{\\}
+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{Khôlle 1 - Un peu de formalisme}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Universite}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\tableofcontents
+	\newpage
+	\section{Un peu de formalisme}
+	Durant cette khôlle (ou colle, mais je préfère les mots pseudo-latin), je vais demander une rédaction particulièrement rigoureuse. Ce formalisme est ensentiel pour démontrer formalement des propositions et des théorèmes.
+	\subsection{Assertion, proposition et théorème}
+	Une assertion est un énoncé vrai ou faux, e.g. $\pi$ est un irrationnel (démonstration complexe mais faisable en fin de Terminal~: devoir maison des MPSI d'Henri-IV durant les vacances d'été précédent leur première année et devoir sur table des MP2I/MPSI à Saint-Louis vers janvier).
+
+	Une énoncé indiquant la vérité d'une assertion est une proposition ou un théorème. Ce dernier est juste une proposition importante.
+
+	Une propriété est une assertion détaillant les éléments fondamentaux découlant d'une définition. Toutes sommes de fonctions continues est continue est une propriété et une proposition.
+	\subsection{Quantification}
+	Tous les éléments doivent être quantifiés à l'aide de quantifieurs ($\forall$, $\exists$, $\exists!$, «~Soit~», etc.). Un élément non quantité est une faute de rigueur car noous ne savons pas dans quelle condition nous pouvons l'utiliser.
+
+	Par exemple, nous n'écrirons pas $$f(x)=2x\cos(x)$$ car nous ne quantifions pas $x$ ici. Nous écrirons plutôt : $$ \forall x\in D,\quad f(x)=2x\cos(x) $$ où $D$ est un ensemble sur lequel $f$ est définie.
+	\section{Logique}
+	On admet la proposition suivante :
+	$$ \exists x\in\varnothing,\quad P $$
+	est toujours fausse pour toute assertion $P$.
+
+	Démontrer que $$ \forall x\in\varnothing, P $$ où $P$ une assertion, est toujours vraie.
+	\section{Rigueur en démonstration}
+	Soit $(u_n)_{n\geqslant 0}$ telle que $u_1 = 1$ et :
+	$$ \forall n\in\mathbb{N}^*,\quad u_{2n} = 2u_n\quad\land\quad \forall n\in\mathbb{N}^*,\quad u_{2n+1}=u_{n+1}+u_n $$
+	Démontrer que pour tout naturel $n$ non nul, $u_n = n$
+	\section{Intégration}
+	Démontrer rigoureusement l'intégration par partie (et la primitivisation par partie).
+	\section{Limite suite}
+	Calculer le $\mathrm{DL}_0(3)$ de $x\longmapsto e^{\cos x}$.
+	\section{Newton}
+	Démontrer le binôme de Newton, i.e. pour tout $(a,b)\in\mathbb{C}^2$ et pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ on a :
+	$$ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} a^{k}b^{n-k} $$
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

