From f1c0d57b427846a7aa9807b5b7bb4289212eed72 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Anhgelus Morhtuuzh <anhgelus@anhgelus.world>
Date: Fri, 31 Jan 2025 15:34:40 +0100
Subject: Ajout du premier semestre

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 "semestre 1/maths/4-int\303\251gration/cours.tex" | 243 ++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 243 insertions(+)
 create mode 100644 "semestre 1/maths/4-int\303\251gration/cours.tex"

(limited to 'semestre 1/maths/4-intégration/cours.tex')

diff --git "a/semestre 1/maths/4-int\303\251gration/cours.tex" "b/semestre 1/maths/4-int\303\251gration/cours.tex"
new file mode 100644
index 0000000..50f21ef
--- /dev/null
+++ "b/semestre 1/maths/4-int\303\251gration/cours.tex"	
@@ -0,0 +1,243 @@
+%%=====================================================================================
+%%
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+%%    Description:  
+%%
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+%%
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+%%   Organization:  
+%%      Copyright:  Copyright (c) 2024, YOUR NAME
+%%
+%%          Notes:  
+%%
+%%=====================================================================================
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+
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+
+\renewenvironment{proof}{$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}}
+
+\title{Intégration}
+\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université - Faculté des Sciences, Faculté des Lettres}}
+
+\begin{document}
+	\maketitle
+	\tableofcontents
+	\newpage
+	\section{Définitions et théorèmes fondamentaux}
+	\begin{defn}
+		L'intégration de la fonction $f: [a,b]\to \mathbb{R}$ est l'aire de la région sous la courbe de $f$ et l'axe des absisses. On note ce nombre $$ \int^b_af(x)\mathrm{d}x $$
+
+		L'aire sous la courbe est :
+		$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n-1} f\left( \frac{b-a}{i} \right) \frac{b-a}{n} $$
+	\end{defn}
+
+	Ce calcul est apparenté au calcul des dérivés.
+	\begin{defn}
+		Soit $f:I\to \mathbb{R}$ avec $I$ un intervalle, on dit que $F:I\to \mathbb{R}$ est une primitive de $f$, i.e. $$ F'=f $$
+	\end{defn}
+	$F$ est toujours déterminée à une constante près.
+	\begin{thm}
+		Soit $f$ une fonction continue de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.
+
+		Il existe toujours une primitive $F$ de $f$ sur $[a,b]$.\\
+		On a alors :
+		$$ \int^b_a f(t)\mathrm{d}t = F(b)-F(a) = [F(x)]_a^b $$
+	\end{thm}
+	\begin{proof}
+		Admis.
+	\end{proof}
+	Ce calcul ne dépend pas de la constance de $F$.
+	\section{Calculs}
+	\subsection{Propriétés}
+	\begin{props}
+		La propriété de Chasles est vraie pour les intégrales
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\begin{props}
+		L'intégrale est linéaire
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\begin{props}
+		Si $f\geqslant 0$, alors $\int f\geqslant 0$.
+
+		Si $f \geqslant g$, alors $\int f \geqslant \int g$.
+	\end{props}
+	\begin{proof}
+		\AQT
+	\end{proof}
+	\subsection{Intégration par partie}
+	\begin{thm}[IPP]
+		Soient $f,g$ deux fonctions intégrables sur $[a,b]$.
+
+		Alors~:
+		$$ \int_a^b f'(x)g(x)\mathrm{d}x = [(fg)(x)]^b_a-\int^b_af(x)g'(x)\mathrm{d}x $$
+	\end{thm}
+	\begin{proof}
+		Admis.
+	\end{proof}
+	\begin{exemple}
+		On a :
+		$$ \int_a^b te^{-t}\mathrm{d}t = [-te^{-t}]^b_a-\int^a_be^{-t}\mathrm{d}t $$
+		(en posant $f'(t)=e^{-t}$ et $g(t)=t$)
+	\end{exemple}
+	\subsection{Changement de variable}
+	\begin{thm}
+		Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue. 
+
+		Pour toute fonction $\varphi:J\to [a;b]$ de classe $\mathcal{C}^1$ et tous $\alpha,\beta\in J$ tels que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$ (sous réserve d'existence), on a : $$ \int^b_af(t)\mathrm{d}t = \int^{\beta}_{\alpha}f(\varphi(u))\varphi'(u)\mathrm{d}u $$
+	\end{thm}
+	Quand on a une intégrale trop compliqué, on fait un changement de variable.
+
+	\begin{lititle}
+		Méthode
+	\end{lititle}
+	On cherche à transformer $$ \int^b_a f(t)\mathrm{d}t $$ en $$ \int^{\beta}_{\alpha} g(u)\mathrm{d}u $$
+	\begin{enumerate}
+		\item On exprime $t$ en fonction de $u$ (i.e. il existe $\varphi$ tel que $t=\varphi(u)$).
+		\item On cherche $\alpha,\beta$ tel que $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$.
+		\item On vérifie que $\varphi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[\alpha,\beta]$ et l’on calcule $\mathrm{d}t = \varphi'(u)\mathrm{d}u$, ce qui donne l’ancienne différentielle $\mathrm{d}t$ en fonction de la nouvelle $\mathrm{d}u$.
+		\item On transforme l’intégrant $f(t) \mathrm{d}t$ en remplaçant $\mathrm{d}t$ par $\varphi'(u) \mathrm{d}u$ et $t$ par $\mathrm{d}(u)$. On obtient ainsi un nouvel intégrant de la forme $g(u) \mathrm{d}u$.
+		\item On écrit la nouvelle intégrale et on obtient bien celle qu'on cherchait.
+	\end{enumerate}
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

