From 7ed2d38e36518873139d5fea9b977e9ae72e7838 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Anhgelus Morhtuuzh Date: Sun, 21 Sep 2025 14:09:41 +0200 Subject: =?UTF-8?q?R=C3=A9=C3=A9criture=20du=20cours=20de=20maths=20discr?= =?UTF-8?q?=C3=A8tes=20en=20LaTeX?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .../.gitignore" | 317 ++++++++++++ .../1- Ensembles, relations, fonctions.md" | 247 ---------- .../1- Ensembles, relations, fonctions.pdf" | Bin 0 -> 263458 bytes .../1- Ensembles, relations, fonctions.tex" | 534 +++++++++++++++++++++ .../td/.gitignore" | 316 ------------ .../td/25-09-19.tex" | 2 +- .../template.tex" | 146 ++++++ 7 files changed, 998 insertions(+), 564 deletions(-) create mode 100644 "semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/.gitignore" delete mode 100644 "semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/1- Ensembles, relations, fonctions.md" create mode 100644 "semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/1- Ensembles, relations, fonctions.pdf" create mode 100755 "semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/1- Ensembles, relations, fonctions.tex" delete mode 100644 "semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/td/.gitignore" create mode 100755 "semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/template.tex" diff --git "a/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/.gitignore" "b/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/.gitignore" new file mode 100644 index 0000000..98f05f7 --- /dev/null +++ "b/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/.gitignore" @@ -0,0 +1,317 @@ +# Created by https://www.toptal.com/developers/gitignore/api/latex +# Edit at https://www.toptal.com/developers/gitignore?templates=latex + +### LaTeX ### +## Core latex/pdflatex auxiliary files: +*.aux +*.lof +*.log +*.lot +*.fls +*.out +*.toc +*.fmt +*.fot +*.cb +*.cb2 +.*.lb + +## Intermediate documents: +*.dvi +*.xdv +*-converted-to.* +# these rules might exclude image files for figures etc. +# *.ps +# *.eps +# *.pdf + +## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:" +.pdf + +## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber): +*.bbl +*.bcf +*.blg +*-blx.aux +*-blx.bib +*.run.xml + +## Build tool auxiliary files: +*.fdb_latexmk +*.synctex +*.synctex(busy) +*.synctex.gz +*.synctex.gz(busy) +*.pdfsync + +## Build tool directories for auxiliary files +# latexrun +latex.out/ + +## Auxiliary and intermediate files from other packages: +# algorithms +*.alg +*.loa + +# achemso +acs-*.bib + +# amsthm +*.thm + +# beamer +*.nav +*.pre +*.snm +*.vrb + +# changes +*.soc + +# comment +*.cut + +# cprotect +*.cpt + +# elsarticle (documentclass of Elsevier journals) +*.spl + +# endnotes +*.ent + +# fixme +*.lox + +# feynmf/feynmp +*.mf +*.mp +*.t[1-9] +*.t[1-9][0-9] +*.tfm + +#(r)(e)ledmac/(r)(e)ledpar +*.end +*.?end +*.[1-9] +*.[1-9][0-9] +*.[1-9][0-9][0-9] +*.[1-9]R +*.[1-9][0-9]R +*.[1-9][0-9][0-9]R +*.eledsec[1-9] +*.eledsec[1-9]R +*.eledsec[1-9][0-9] +*.eledsec[1-9][0-9]R +*.eledsec[1-9][0-9][0-9] +*.eledsec[1-9][0-9][0-9]R + +# glossaries +*.acn +*.acr +*.glg +*.glo +*.gls +*.glsdefs +*.lzo +*.lzs +*.slg +*.slo +*.sls + +# uncomment this for glossaries-extra (will ignore makeindex's style files!) +# *.ist + +# gnuplot +*.gnuplot +*.table + +# gnuplottex +*-gnuplottex-* + +# gregoriotex +*.gaux +*.glog +*.gtex + +# htlatex +*.4ct +*.4tc +*.idv +*.lg +*.trc +*.xref + +# hyperref +*.brf + +# knitr +*-concordance.tex +# TODO Uncomment the next line if you use knitr and want to ignore its generated tikz files +# *.tikz +*-tikzDictionary + +# listings +*.lol + +# luatexja-ruby +*.ltjruby + +# makeidx +*.idx +*.ilg +*.ind + +# minitoc +*.maf +*.mlf +*.mlt +*.mtc[0-9]* +*.slf[0-9]* +*.slt[0-9]* +*.stc[0-9]* + +# minted +_minted* +*.pyg + +# morewrites +*.mw + +# newpax +*.newpax + +# nomencl +*.nlg +*.nlo +*.nls + +# pax +*.pax + +# pdfpcnotes +*.pdfpc + +# sagetex +*.sagetex.sage +*.sagetex.py +*.sagetex.scmd + +# scrwfile +*.wrt + +# svg +svg-inkscape/ + +# sympy +*.sout +*.sympy +sympy-plots-for-*.tex/ + +# pdfcomment +*.upa +*.upb + +# pythontex +*.pytxcode +pythontex-files-*/ + +# tcolorbox +*.listing + +# thmtools +*.loe + +# TikZ & PGF +*.dpth +*.md5 +*.auxlock + +# titletoc +*.ptc + +# todonotes +*.tdo + +# vhistory +*.hst +*.ver + +# easy-todo +*.lod + +# xcolor +*.xcp + +# xmpincl +*.xmpi + +# xindy +*.xdy + +# xypic precompiled matrices and outlines +*.xyc +*.xyd + +# endfloat +*.ttt +*.fff + +# Latexian +TSWLatexianTemp* + +## Editors: +# WinEdt +*.bak +*.sav + +# Texpad +.texpadtmp + +# LyX +*.lyx~ + +# Kile +*.backup + +# gummi +.*.swp + +# KBibTeX +*~[0-9]* + +# TeXnicCenter +*.tps + +# auto folder when using emacs and auctex +./auto/* +*.el + +# expex forward references with \gathertags +*-tags.tex + +# standalone packages +*.sta + +# Makeindex log files +*.lpz + +# xwatermark package +*.xwm + +# REVTeX puts footnotes in the bibliography by default, unless the nofootinbib +# option is specified. 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Un ensemble ne possède pas d'ordre - -**Définition** -Relation d'appartenance est noté $\in$. Elle indique si un élément $e$ appartient à un ensemble $E$. - -**Définition** -$\varnothing$ est l'ensemble vide, celui qui ne contient rien -$\{e\}$ est le singleton $e$ (i.e. l'ensemble contenant exclusivement $e$) - -**Définition** -Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments appartenant à cet ensemble. On le note $|E|$ ou $\mathrm{card}(E)$. - -Par exemple, on a : -$$|\{e\}| = 1$$ -> [!warning] Ensemble dans un ensemble -> $2\not\in\{\{2\}\}$ - -**Proposition** -Tout ensemble contient l'ensemble vide. - -**Définition** -La relation $A\subseteq B$ indique si $A$ est un sous-ensemble de $B$, i.e. -$$ \forall a\in A,\quad a\in B $$ -**Proposition** -Cette relation est réflexive, i.e. $E\subseteq E$ est vraie - -**Proposition** -Cette relation est transitive, i.e. $E_1\subseteq E_2\land E_2\subseteq E_3\quad\implies\quad E_1\subseteq E_3$ est vraie - -**Définition** -On dit que $A=B$ si, et seulement si : -$$ A\subseteq B\quad\land\quad B\subseteq A $$ - -**Proposition** -Ainsi, on a que $\subseteq$ est anti-symétrique. - -**Définition** -Une relation est d'ordre si elle est : -- réflexive -- transitive -- anti-symétrique - -Elle est dite partielle si elle ne fonctionne par pour tous les éléments. - -**Proposition** -Comme $\subseteq$ est réflexive, transitive et anti-symétrique, alors $\subseteq$ est une relation d'ordre. -Par contre, deux ensembles ne sont pas nécessairement comparables avec $\subseteq$ : il s'agit donc d'une relation d'ordre partielle. - -**Définition** -$A\cup B$ est l'union de $A$ et $B$, deux sous-ensembles de $E$, tel que : -$$ A\cup B = \{x| x\in A\lor x\in B\} $$ -$A\cap B$ est l'intersection tel que : -$$ A\cap B = \{x| x\in A\land x\in B\} $$ -> [!info] Construction d'ensembles -> La construction des ensembles dans la dernière définition est dite par compréhension, comme en Python. - -**Définition** -$A$ et $B$ sont disjoints si, et seulement si : -$$ A\cap B = \varnothing $$ - -**Théorème** - Formule du crible, formule de Poincaré -Soient $A$ et $B$ deux sous-ensemble de $E$. On a : -$$ |A\cup B| = |A|+|B|+|A\cap B| $$ - -**Définition** -La différence $A\backslash B$ , deux sous-ensembles de $E$, est : -$$ A\backslash B = \{x|x\in A\land x\notin B\} $$ - -**Définition** -Le complémentaire de $A$, un sous-ensemble de $E$, est noté $\bar A$ et est défini tel que : -$$ \bar A= E\backslash A $$ - -**Définition** -Le produit cartésien $A\times B$ est l'ensemble des couples $(a,b)$ avec $a\in A$ et $b\in B$. Donc : -$$ A\times B = \{(a,b)|a\in A,b\in B\} $$ - -**Proposition** -Si $E_1,\ldots,E_n$ sont des ensembles finis, alors $$\left|\prod^n_{i=1} E_i\right| = \prod^n_{i=1}|E_i|$$ -Voir le diapo pour les propriétés classiques - -**Définition** -Une partie $A$ d'un ensemble $E$ est un sous-ensemble de $E$. - -$\mathcal{P}(E)$ est l'ensemble des parties de $E$. - -> [!warning] $\mathcal{P}(E)$ ne peut jamais être vide ! -> En effet, on a $\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\} \neq \varnothing$ ! -> Ne pas oublier que $\mathcal{P}(E)$ est un ensemble d'ensemble et que $\varnothing$ est bien un ensemble valide ! - -**Construction de $\mathcal{P}(E)$** -Si $E=\varnothing$, alors $\mathcal{P}(E) = \{\varnothing\}$ -Sinon, $E=\{e\}\cup F\neq\varnothing$ ($e$ est un élément de $E$ et $F$ est ce qui reste, il peut être vide !) -Proposition : $$\mathcal{P}(\{e\}\cup F) = \mathcal{P}(F)\cup\{\{e\}\cup A|A\in\mathcal{P}(F)\}$$Ceci est un appel récursif de la fonction $\mathcal{P}$ permettant ainsi de construire l'ensemble des parties. - -**Corollaire** -Si $E$ est un ensemble fini contenant $n$ éléments, alors $|\mathcal{P}(E)|=2^n$ - -**Définition** -Soit $E$ un ensemble. -Quand on partitionne $E$, on construit des parties non vides deux à deux disjointes. - -Une partition de $E$ est une famille $(A_i)_{i\in I}$ de parties de $E$ telle que : -- $A_i\neq\varnothing$ -- $A_i\cap A_j = \varnothing$ si $i\neq j$ (pour tout $(i,j)$ dans $I$) -- $E=\bigcup_{i\in I} A_i$ - -> [!warning] Une partition de $E$ n'est pas unique dans le cas générale ! -## Relation -**Définition** -Relation binaire $R$ d'un ensemble $E$ vers $F$ est un sous-ensemble de $E\times F$, i.e. -$$ R\subseteq E\times F $$ -On peut la noter $(x,y)\in R$, $x R y$, $R(x,y)$. -Lorsque $E=F$, on dit que $R$ est une relation binaire sur $E$. - -Exemple : -- $\mathrm{Id}_E$ est la relation identité de $E$ est une relation binaire sur $E$ telle que $\{(e,e)|e\in E\}$ -- $\mathrm{Id}_{\mathbb{N}} = \{(n,n)|n\in\mathbb{N}\}$ -- $\leqslant$ sur $\mathbb{N}$ est aussi une relation binaire : $\{(n_1,n_2)\in\mathbb{N}^2|n_1\leqslant n_2\}$ -- $<$ sur $\mathbb{N}$ est aussi une relation binaire (elle est incluse dans $\leqslant$) - -> [!NOTE] Opérations sur les relations -> Comme une relation est un ensemble, on peut appliquer les opérations ensemblistes dessus 🎉 - -**Définition** -Relation $n$-aire est un sous-ensemble du produit cartésien $E_1\times\ldots\times E_n$ - -**Définition** -Une relation unaire est un sous-ensemble d'un ensemble $E$. - -Définir par compréhension permet d'énoncer la propriété caractéristique de l'ensemble -|> on peut avoir une même relation pour des propriétés caractéristiques différentes -Définir par extension permet de lister les éléments - -**Définition** -La relation inverse $R^{-1}$ d'une relation $R\subseteq E\times F$ est la relation de $F$ vers $E$ contenant tous les couples $(x,y)$ tels que $(y,x)\in R$, i.e. -$$ R^{-1} = \{(x,y)\in F\times E|(y,x)\in R\} $$ - -**Définition** -Un produit de relation est quand on applique plusieurs relations à la suite. - -Le produit de $R_1\subseteq E\times F$ et de $R_2\subseteq F\times G$ est définie par : -$$ R_1R_2 = \left\{(x,y)\in E\times G\quad|\quad\exists z, (x,z)\in R_1\quad\land\quad(z,y)\in R_2\right\} $$ -> revoir le cours pour cette expression, ça me semble chelou -On la note $R_1\circ R_2$ ou $R_1\cdot R_2$. -```mermaid -flowchart LR - A -- R1⋅R2 ---C - A-- R1 ---B - B-- R2 ---C -``` - -Par exemple, on peut définir $<$ comme $S\cdot\leqslant$ où $S$ est la relation successeur (i.e. $S=\{(x,y)|x+1=y\}$) - -> [!warning] Commutativité -> Le produit de relation n'est pas commutatif - -> [!warning] $R\cdot R^{-1}\neq\mathrm{Id}_E$ -> De même dans l'autre sens - -**Propriétés** -$\varnothing$ est un élément est absorbant des relations : $R\cdot\varnothing = \varnothing\cdot R = R$ -Le produit est associatif : $R_1\cdot(R_2\cdot R_3) = (R_1\cdot R_2)\cdot R_3$ -$\mathrm{Id}$ est l'élément neutre : $R\cdot\mathrm{Id}_F = \mathrm{Id}_ER=R$ (si $R$ est dans $E\times F$) -|> ⚠ faire bien attention à la modification de l'identité en fonction qu'on soit à droite ou à gauche - -**Notations** -Si $R$ est une relation sur $E$, on note : -$$ R^n = \underbrace{R\ldots R}_n = \left\{\begin{matrix} - \mathrm{Id}_E&\text{si}&n=0\\ - R\cdot R^{n-1}&\text{sinon} -\end{matrix}\right. $$ - -***Revoir les diapos 23 à 29*** - -**Définition** -Une relation est dite d'équivalence si, et seulement si, elle est : -- réflexive -- symétrique -- transitive - -Une relation est dite d'ordre si, et seulement si, elle est : -- réflexive -- anti-symétrique -- transitive - -Par exemple : -- $\equiv$ (congruence) est une relation d'équivalence -- $\leqslant$ est une relation d'ordre -- $<$ n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas anti-symétrique ! - -**Définition** -Soit $R$ une relation d'équivalence sur $E$. -La classe d'équivalence d'un élément $e\in E$ pour $R$ est noté $[e]_R$ et : -$$ [e]_R = \{e'\in E|(e,e')\in R\} $$ -Remarque : $e\in[e]_R$ car $R$ est réflexive - -**Définition** -On note $E_{/R}$ l'ensemble des quotients de $E$ par $R$ -***J'AI PAS EU LE TEMPS DE NOTER (diapo 31)*** -## Fonctions -**Définition** -Une relation de $E$ vers $F$ est dite déterministe (ou fonctionnelle) si, et seulement si, tout élément de $E$ est en relation avec au plus un élément de $F$, i.e. -$$ \forall e\in E,\quad\forall(e_1,e_2)\in F^2,\quad(e,e_1)\in R\quad\land\quad(e,e_2)\in R \implies e_1=e_2 $$ - -Exemples : -- $S$ est fonctionnelle -- $S^{-1}$ l'est aussi -- $\leqslant$ ne l'est pas par contre - -**Proposition** -Une relation déterministe est une fonction $f$. - -Si $f$ n'est pas définie pour tout l'ensemble de départ, on dit qu'elle est partielle. - -Preuves : -- relation déterministe ne donne qu'une unique image - -**Définition** -Une relation $R$ de $E$ vers $F$ est dite totale à gauche si, et seulement si, chaque élément de $E$ est en relation avec au moins un élément de $F$ : -$$ \forall e_1\in E,\quad\exists e_2\in F,\quad (e_1,e_2)\in R $$ - -**Définition** -Une application est une relation déterministe et totale à gauche, on la note : -$$ f : E\to F $$ -i.e. tout élément de $E$ possède une (unique) image. -On dit parfois qu'elle est une fonction totale. - -***Voir diapo 36 à 45 car j'ai pas le temps de noter*** \ No newline at end of file diff --git "a/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/1- Ensembles, relations, fonctions.pdf" "b/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/1- Ensembles, relations, fonctions.pdf" new file mode 100644 index 0000000..0fd95ed Binary files /dev/null and "b/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/1- Ensembles, relations, fonctions.pdf" differ diff --git "a/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/1- Ensembles, relations, fonctions.tex" "b/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/1- Ensembles, relations, fonctions.tex" new file mode 100755 index 0000000..a9ead3d --- /dev/null +++ "b/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/1- Ensembles, relations, fonctions.tex" @@ -0,0 +1,534 @@ +\documentclass[a4paper, titlepage]{article} + +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{textcomp} +\usepackage[french]{babel} +\usepackage{amsmath, amssymb} +\usepackage{amsthm} +\usepackage[svgnames]{xcolor} +\usepackage{thmtools} +\usepackage{lipsum} +\usepackage{framed} +\usepackage{parskip} +\usepackage{titlesec} + +\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} + +% figure support +\usepackage{import} +\usepackage{xifthen} +\pdfminorversion=7 +\usepackage{pdfpages} +\usepackage{transparent} +\newcommand{\incfig}[1]{% + \def\svgwidth{\columnwidth} + \import{./figures/}{#1.pdf_tex} +} + +\pdfsuppresswarningpagegroup=1 + +\colorlet{defn-color}{DarkBlue} +\colorlet{props-color}{Blue} +\colorlet{warn-color}{Red} +\colorlet{exemple-color}{Green} +\colorlet{corol-color}{Orange} +\newenvironment{defn-leftbar}{% + 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+\declaretheorem[style=better-warn]{warn} +\declaretheorem[style=better-exemple]{exemple} +\declaretheorem[style=better-corol]{corol} +\declaretheorem[style=better-props, numberwithin=defn]{props} +\declaretheorem[style=better-thm, sibling=props]{thm} +\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection] +%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn] + +\newenvironment{system}% +{\left\lbrace\begin{align}}% +{\end{align}\right.} + +\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}} + +\usepackage{LobsterTwo} +\titleformat{\section}{\newpage\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{} +\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{} +\titleformat{\subsubsection}{\vspace{1em}\LobsterTwo \large\bfseries}{\thesubsubsection.}{1em}{} + +\newenvironment{lititle}% +{\vspace{7mm}\LobsterTwo \large}% +{\\} + +\renewenvironment{proof}{\par$\square$ \footnotesize\textit{Démonstration.}}{\begin{flushright}$\blacksquare$\end{flushright}\par} + +\title{Ensembles, relations, fonctions} +\author{William Hergès\thanks{Sorbonne Université}} + +\begin{document} + \maketitle + \tableofcontents + \newpage + \section{Ensembles} + \subsection{Définition} + \begin{defn} + Ensemble est une réunion dans une même entité de certains objets déterminés. + Un ensemble ne possède pas d'ordre. + \end{defn} + \begin{defn} + Relation d'appartenance est noté $\in$. + Elle indique si un élément $e$ appartient à un ensemble $E$. + \end{defn} + \begin{defn} + $\varnothing$ est l'ensemble vide, celui qui ne contient rien. + + $\{e\}$ est le singleton $e$ (i.e. l'ensemble contenant exclusivement $e$). + \end{defn} + \begin{defn} + Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments appartenant à cet ensemble. + On le note $|E|$ ou $\mathrm{card}(E)$. + \end{defn} + \begin{exemple} + On a~: + $$ |\{7.2\}| = 1 $$ + \end{exemple} + \begin{warn} + $2\not\in \{\{2\}\}$ + \end{warn} + \begin{props} + Tout ensemble contient l'ensemble vide. + \end{props} + \subsection{Opérations} + \begin{defn} + La relation $A\subseteq B$ indique si $A$ est un sous-ensemble de $B$, i.e. + $$ \forall a\in A,\quad a\in B $$ + \end{defn} + \begin{props} + Cette relation est réflexive, i.e. $E\subseteq E$ est vraie + \end{props} + \begin{defn} + Cette relation est transitive, i.e. + $E_1\subseteq E_2\land E_2\subseteq E_3\quad\implies\quad E_1\subseteq E_3$ est vraie. + \end{defn} + \begin{defn} + On dit que $A=B$ si, et seulement si~: + $$ A\subseteq B\quad\land\quad B\subseteq A $$ + i.e. + $$ \forall x\in A,\quad x\in B $$ + \end{defn} + \begin{props} + On a que $\subseteq$ est anti-symétrique. + \end{props} + \begin{defn} + Une relation est dite d'ordre (voir après) si elle est~: + \begin{itemize} + \item réflexive + \item transitive + \item anti-symétrique + \end{itemize} + Elle est dite partielle si elle n'est pas applicable pour tous les éléments. + \end{defn} + \begin{props} + Comme $\subseteq$ est réflexive, transitive et anti-symétrique, alors $\subseteq$ est une relation d'ordre. + + Par contre, deux ensembles ne sont pas nécessairement comparables avec $\subseteq$~: il s'agit donc d'une relation d'ordre partielle. + \end{props} + \begin{defn} + $A\cup B$ est l'union de $A$ et $B$, deux sous-ensembles de $E$, tel que~: + $$ A\cup B = \{x| x\in A\lor x\in B\} $$ + $A\cap B$ est l'intersection tel que~: + $$ A\cap B = \{x| x\in A\land x\in B\} $$ + \end{defn} + La construction des ensembles de cette manière est dite par compréhension, comme en programmation fonctionnelle (et + en Python). + \begin{defn} + $A$ et $B$ sont disjoints si, et seulement si~: + $$ A\cap B = \varnothing $$ + \end{defn} + \begin{thm}[Formule du crible, formule de Poincaré] + Soient $A$ et $B$ deux sous-ensemble de $E$. + On a~: + $$ |A\cup B| = |A|+|B|+|A\cap B| $$ + \end{thm} + \begin{defn} + La différence $A\backslash B$ , deux sous-ensembles de $E$, est~: + $$ A\backslash B = \{x|x\in A\land x\notin B\} $$ + \end{defn} + \begin{defn} + Le complémentaire de $A$, un sous-ensemble de $E$, est noté $\bar A$ et est défini tel que~: + $$ \bar A= E\backslash A $$ + \end{defn} + \begin{defn} + Le produit cartésien $A\times B$ est l'ensemble des couples $(a,b)$ avec $a\in A$ et $b\in B$. + Donc~: + $$ A\times B = \{(a,b)|a\in A,b\in B\} $$ + \end{defn} + \begin{props} + Si $E_1,\ldots,E_n$ sont des ensembles finis, alors~: + $$\left|\prod^n_{i=1} E_i\right| = \prod^n_{i=1}|E_i|$$ + \end{props} + \begin{props}[Lois de De Morgan] + On a~: + $$ \overline{A\cap B} = \bar A\cup\bar B $$ + $$ \overline{A\cup B} = \bar A\cap\bar B $$ + \end{props} + \begin{defn} + Une partie $A$ d'un ensemble $E$ est un sous-ensemble de $E$. + + $\mathcal{P}(E)$ est l'ensemble des parties de $E$. + \end{defn} + \begin{warn} + $\mathcal{P}(E)$ ne peut jamais être vide~! + + En effet, on a $\mathcal{P}(\varnothing) = \{\varnothing\} \neq \varnothing$~! + Ne pas oublier que $\mathcal{P}(E)$ est un ensemble d'ensemble et que $\varnothing$ est bien un ensemble valide~! + \end{warn} + \begin{lititle} + Construction de $\mathcal{P}(E)$ + \end{lititle} + Si $E=\varnothing$, alors $\mathcal{P}(E) = \{\varnothing\}$. + Sinon, $E=\{e\}\cup F\neq\varnothing$ ($e$ est un élément de $E$ et $F$ est ce qui reste, il peut être vide~!). + + Proposition~: $$ \mathcal{P}(\{e\}\cup F) = \mathcal{P}(F)\cup\{\{e\}\cup A|A\in\mathcal{P}(F)\} $$ + + Ceci est un appel récursif de la fonction $\mathcal{P}$ permettant ainsi de construire l'ensemble des parties. + \begin{corol} + Si $E$ est un ensemble fini contenant $n$ éléments, alors $|\mathcal{P}(E)|=2^n$. + \end{corol} + \begin{defn} + Soit $E$ un ensemble. + Quand on partitionne $E$, on construit des parties non vides deux à deux disjointes. + + Une partition de $E$ est une famille $(A_i)_{i\in I}$ de parties de $E$ telle que~: + \begin{itemize} + \item $A_i\neq\varnothing$ + \item $A_i\cap A_j = \varnothing$ si $i\neq j$ (pour tout $(i,j)$ dans $I$) + \item $E=\bigcup_{i\in I} A_i$ + \end{itemize} + \end{defn} + \begin{warn} + Une partition de $E$ n'est pas unique dans le cas générale~! + \end{warn} + \section{Relations} + \subsection{Définitions} + \begin{defn} + Relation binaire $R$ d'un ensemble $E$ vers $F$ est un sous-ensemble de $E\times F$, i.e. + $$ R\subseteq E\times F $$ + On peut la noter $(x,y)\in R$, $x R y$, $R(x,y)$. + Lorsque $E=F$, on dit que $R$ est une relation binaire sur $E$. + \end{defn} + \begin{exemple} + $\mathrm{Id}_E$ est la relation identité de $E$ est une relation binaire sur $E$ telle que $\{(e,e)|e\in E\}$. + + $\mathrm{Id}_{\mathbb{N}} = \{(n,n)|n\in\mathbb{N}\}$ + + $\leqslant$ sur $\mathbb{N}$ est aussi une relation binaire~: $\{(n_1,n_2)\in\mathbb{N}^2|n_1\leqslant n_2\}$. + + $<$ sur $\mathbb{N}$ est aussi une relation binaire (elle est incluse dans $\leqslant$). + \end{exemple} + Comme une opération est un ensemble, on peut appliquer les opérations ensemblistes dessus~! + \begin{defn} + Relation $n$-aire est un sous-ensemble du produit cartésien $E_1\times\ldots\times E_n$ + \end{defn} + \begin{defn} + Une relation unaire est un sous-ensemble d'un ensemble $E$. + \end{defn} + Définir par compréhension permet d'énoncer la propriété caractéristique de l'ensemble. + On peut avoir une même relation pour des propriétés caractéristiques différentes + + Définir par extension permet de lister les éléments. + \begin{defn} + La relation inverse $R^{-1}$ d'une relation $R\subseteq E\times F$ est la relation de $F$ vers $E$ contenant + tous les couples $(x,y)$ tels que $(y,x)\in R$, i.e. + $$ R^{-1} = \{(x,y)\in F\times E|(y,x)\in R\} $$ + \end{defn} + \begin{defn} + Un produit de relation est quand on applique plusieurs relations à la suite. + + Le produit de $R_1\subseteq E\times F$ et de $R_2\subseteq F\times G$ est définie par~: + $$ R_1.R_2 = \left\{(x,y)\in E\times G\quad|\quad\exists z, (x,z)\in R_1\quad\land\quad(z,y)\in R_2\right\} $$ + + On la note $R_1\circ R_2$ ou $R_1.R_2$. + \end{defn} + Appliquer $R_1.R_2$ revient à appliquer $R_1$ puis $R_2$. + \begin{warn} + Le produit de relation n'est pas commutatif + \end{warn} + \begin{warn} + $R\cdot R^{-1}\neq\mathrm{Id}_E$~! + + De même dans l'autre sens. + \end{warn} + \begin{props}[Propriétés] + $\varnothing$ est un élément est absorbant des relations~: $R\cdot\varnothing = \varnothing\cdot R = R$. + + Le produit est associatif : $R_1\cdot(R_2\cdot R_3) = (R_1\cdot R_2)\cdot R_3$. + + $\mathrm{Id}$ est l'élément neutre~: $R\cdot\mathrm{Id}_F = \mathrm{Id}_ER=R$ (si $R$ est dans $E\times F$). + Attention à bien modifier l'ensemble de l'identité en fonction qu'on soit à droite à gauche~! + \end{props} + \begin{lititle} + Notations + \end{lititle} + Si $R$ est une relation sur $E$, on note~: + $$ R^n = \underbrace{R\ldots R}_n = \left\{\begin{matrix} + \mathrm{Id}_E&\text{si}&n=0\\ + R\cdot R^{n-1}&\text{sinon} + \end{matrix}\right. $$ + \subsection{Réflexivité, symétrie, transitivité} + \begin{defn} + La fermeture d'une relation $R$ sur $E$ pour une propriété $P$ est l'ajout du moins d'éléments possibles dans + $R$ pour que $R$ vérifie $P$. + + Si cette relation existe, c'est la plus petite relation $R'$ (au sens de l'inclusion) qui contient $R$ et qui + vérifie $P$, i.e. + \begin{itemize} + \item $R\subseteq R'$ + \item $R'$ vérifie $P$ + \item si $R\subseteq R''$ et $R''$ vérifie $P$, alors $R'\subseteq R''$ + \end{itemize} + \end{defn} + \begin{defn} + Une relation binaire $R$ de $E$ est dite réflexive si, et seulement si~: + $$ \forall x\in E,\quad (x,x)\in R$$ + i.e. tout élément est en relation avec lui-même. + \end{defn} + \begin{defn} + Une relation binaire $R$ de $E$ est dite symétrique si, et seulement si~: + $$ \forall (x,y)\in E^2,\quad (x,y)\in R\implies (y,x)\in R $$ + i.e. un élément $x$ est en relation avec un élément $y$, l’élément $y$ est aussi en relation avec $x$. + \end{defn} + \begin{warn} + $\leqslant$ n'est pas symétrique~! + \end{warn} + \begin{defn} + Une relation binaire $R$ de $E$ est dite antisymétrique si, et seulement si~: + $$ \forall (x,y)\in E^2,\quad (x,y)\in R\land (y,x)\in R \implies x=y$$ + \end{defn} + \begin{defn} + Une relation binaire $R$ de $E$ est dite transitive si, et seulement si~: + $$ \forall (x,y,z)\in E^3,\quad (x,y)\in R\land(y,z)\in R\implies(x,z)\in R $$ + \end{defn} + \begin{defn} + La fermeture transitive $R^+$ de $R$ est l'ajout des éléments nécessaires dans $R$ pour obtenir une relation + transitive, i.e. + $$ R^+ = \bigcup_{i\geqslant 1} R^i $$ + \end{defn} + \begin{exemple} + $S^+ = \{(n_1, n_2)|\exists n > 0, n_2=n_1+n\}$, ce qui est équivalent d'appliquer $S^n$ à $n_1$ pour obtenir + $n_2$. + Cela rend $S$ transitive. + \end{exemple} + \begin{defn} + La fermeture réflexo-transitive $R^*$ de $R$ est l'ajout des éléments nécessaires dans $R$ pour obtenir une + relation réflexive et transitive, i.e. + $$ R^* = \bigcup_{i\geqslant0} R^i $$ + \end{defn} + C'est un ajout de l'identité dans $R^+$. + \begin{defn} + Une relation binaire est dite totale si, et seulement si~: + $$ \forall (x,y)\in E^2,\quad (x,y)\in E\lor(y,x)\in E $$ + \end{defn} + \begin{warn} + Ne pas confondre avec la symétrie~! C'est bien un "ou" ici. + \end{warn} + \subsection{Classes d'équivalence} + \begin{defn} + Une relation est dite d'équivalence si, et seulement si, elle est~: + \begin{itemize} + \item réflexive + \item symétrique + \item transitive + \end{itemize} + + Une relation est dite d'ordre si, et seulement si, elle est~: + \begin{itemize} + \item réflexive + \item anti-symétrique + \item transitive + \end{itemize} + Comme on l'a vu dans la partie sur les ensembles. + \end{defn} + \begin{exemple} + $\equiv$ (congruence) est une relation d'équivalence. + + $\leqslant$ est une relation d'ordre. + + $<$ n'est pas une relation d'ordre car elle n'est pas anti-symétrique~! + \end{exemple} + \begin{defn} + Soit $R$ une relation d'équivalence sur $E$. + La classe d'équivalence d'un élément $e\in E$ pour $R$ est noté $[e]_R$ et~: + $$ [e]_R = \{e'\in E|(e,e')\in R\} $$ + \end{defn} + $e\in[e]_R$ car $R$ est réflexive + \begin{defn} + On note $[e]_R$ la classe d'équivalence d'un élément $e\in E$ pour $R$, i.e. + $$ [e]_R = \{e'\in E|(e,e')\in R\} $$ + On note $E_{/R}$ l'ensemble quotient de $E$ par $R$, i.e. l'ensemble des classes d'équivalence de $E$ pour $R$~: + $$ E_{/R} = \{[e]_R|e\in E\} $$ + \end{defn} + \begin{props} + $E_{/R}$ forme une partition de $E$. + \end{props} + \section{Fonctions} + \subsection{Relations et fonctions} + \begin{defn} + Une relation de $E$ vers $F$ est dite déterministe (ou fonctionnelle) si, et seulement si, tout élément de $E$ + est en relation avec au plus un élément de $F$, i.e. + $$ \forall e\in E,\quad\forall(e_1,e_2)\in F^2,\quad(e,e_1)\in R\quad\land\quad(e,e_2)\in R \implies e_1=e_2 $$ + \end{defn} + \begin{exemple} + $S$ est fonctionnelle. + + $S^{-1}$ l'est aussi. + + $\leqslant$ ne l'est pas par contre. + \end{exemple} + \begin{props} + Une relation déterministe est une fonction $f$. + + Si $f$ n'est pas définie pour tout l'ensemble de départ, on dit qu'elle est partielle. + \end{props} + \begin{proof} + Une relation déterministe ne donne qu'une unique image. + \end{proof} + \begin{defn} + Une relation $R$ de $E$ vers $F$ est dite totale à gauche si, et seulement si, chaque élément de $E$ est en + relation avec au moins un élément de $F$~: + $$ \forall e_1\in E,\quad\exists e_2\in F,\quad (e_1,e_2)\in R $$ + \end{defn} + \begin{defn} + Une application est une relation déterministe et totale à gauche, on la note~: + $$ f : E\to F $$ + i.e. tout élément de $E$ possède une (unique) image. + On dit parfois qu'elle est une fonction totale. + \end{defn} + \subsection{Injections, surjections et bijections} + \begin{defn} + Une relation $R$ de $E$ dans $F$ est injective si, et seulement si~: + $$ \forall e\in F,\quad\forall (e_1,e_2)\in E^2,\quad(e_1,e)\in R\land(e_2,e)\in R\implies e_1=e_2 $$ + \end{defn} + \begin{defn} + Une relation $f$ de $E$ dans $F$ injective, déterministe et totale à gauche est une application injective (on + dit injection), i.e. + $$ \forall (e_1,e_2)\in E^2,\quad f(e_1)=f(e_2)\implies e_1=e_2 $$ + \end{defn} + \begin{defn} + Une relation $R$ de $E$ dans $F$ est surjective si, et seulement si~: + $$ \forall e_2\in F,\quad\exists e_1\in E^1,\quad(e_1,e_2)\in R $$ + \end{defn} + \begin{defn} + Une relation $f$ de $E$ dans $F$ surjective, déterministe et totale à gauche est une application surjective (on + dit surjection), i.e. + $$ \forall e_2\in E,\quad \exists e_1\in E,\quad f(e_1)=e_2 $$ + \end{defn} + \begin{defn} + Une application injective et surjective est une application bijective (on dit bijective). + + Cela implique que tous les éléments de $E$ possèdent exactement un antécédent. + \end{defn} + \begin{thm} + Il n'existe pas de bijection entre $E$ et $\mathcal{P}(E)$. + \end{thm} + \begin{props} + Toute bijection $f$ possède une application réciproque notée $f^{-1}$. + + Cette inverse est une application si, et seulement si, $f$ est bijective. + + Si $f$ est bijective, $f^{-1}$ l'est aussi, alors $f\circ f^{-1} = \mathrm{Id}_F$ et$f^{-1}\circ f = \mathrm{Id}_E$. + \end{props} + \subsection{Ensembles dénombrables et monoïdes} + \begin{defn} + Un ensemble est dit dénombrable si, et seulement si, on peut numéroter tous ses éléments sans répétition et + sans omission. + \end{defn} + \begin{props} + Tout ensemble fini est dénombrable. + + Tout ensemble infini en bijection avec $\mathbb{N}$ est dénombrable. + \end{props} + Deux ensembles ont le même nombre d'élément s'ils sont en bijection. + \begin{defn} + Un monoïde est un ensemble $E$ muni d'une opération $\odot$ de $E\times E$ dans $E$ telle que~: + \begin{itemize} + \item elle est associative~: + $\forall (e_1,e_2,e_3)\in E^3,\quad (e_1\odot e_2)\odot e_3 = e_1\odot (e_2\odot e_3)$ + \item elle possède un élément neutre $e$~: $\forall e'\in E,\quad e\odot e'=e'\odot e = e'$ + \end{itemize} + \end{defn} +\end{document} diff --git "a/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/td/.gitignore" "b/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/td/.gitignore" deleted file mode 100644 index c5d2f98..0000000 --- "a/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/td/.gitignore" +++ /dev/null @@ -1,316 +0,0 @@ -# Created by https://www.toptal.com/developers/gitignore/api/latex -# Edit at https://www.toptal.com/developers/gitignore?templates=latex - -### LaTeX ### -## Core latex/pdflatex auxiliary files: -*.aux -*.lof -*.log -*.lot -*.fls -*.out -*.toc -*.fmt -*.fot -*.cb -*.cb2 -.*.lb - -## Intermediate documents: -*.dvi -*.xdv -*-converted-to.* -# these rules might exclude image files for figures etc. -# *.ps -# *.eps -# *.pdf - -## Generated if empty string is given at "Please type another file name for output:" -.pdf - -## Bibliography auxiliary files (bibtex/biblatex/biber): -*.bbl -*.bcf -*.blg -*-blx.aux -*-blx.bib -*.run.xml - -## Build tool auxiliary files: -*.fdb_latexmk -*.synctex -*.synctex(busy) -*.synctex.gz -*.synctex.gz(busy) -*.pdfsync - -## Build tool directories for auxiliary files -# latexrun -latex.out/ - -## Auxiliary and intermediate files from other 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Idem pour $S$) \end{document} diff --git "a/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/template.tex" "b/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/template.tex" new file mode 100755 index 0000000..b835582 --- /dev/null +++ "b/semestre 3/math\303\251matiques discr\303\250tes/template.tex" @@ -0,0 +1,146 @@ +\documentclass[a4paper, titlepage]{article} + +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage{textcomp} +\usepackage[french]{babel} +\usepackage{amsmath, amssymb} +\usepackage{amsthm} +\usepackage[svgnames]{xcolor} +\usepackage{thmtools} +\usepackage{lipsum} +\usepackage{framed} +\usepackage{parskip} +\usepackage{titlesec} + +\renewcommand{\familydefault}{\sfdefault} + +% figure support +\usepackage{import} +\usepackage{xifthen} +\pdfminorversion=7 +\usepackage{pdfpages} +\usepackage{transparent} +\newcommand{\incfig}[1]{% + \def\svgwidth{\columnwidth} + \import{./figures/}{#1.pdf_tex} +} + +\pdfsuppresswarningpagegroup=1 + +\colorlet{defn-color}{DarkBlue} +\colorlet{props-color}{Blue} +\colorlet{warn-color}{Red} +\colorlet{exemple-color}{Green} +\colorlet{corol-color}{Orange} +\newenvironment{defn-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{defn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{warn-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{warn-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{exemple-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{exemple-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{props-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{props-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + \MakeFramed {\advance\hsize-\width \FrameRestore}}% + {\endMakeFramed} +\newenvironment{corol-leftbar}{% + \def\FrameCommand{{\color{corol-color}\vrule width 3pt} \hspace{10pt}}% + 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preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{exemple-leftbar},% + postfoothook=\end{exemple-leftbar},% +]{better-exemple} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{props-color}Proposition~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},% + postfoothook=\end{props-leftbar},% +]{better-props} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{props-color}Théorème~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{props-leftbar},% + postfoothook=\end{props-leftbar},% +]{better-thm} +\declaretheoremstyle[headfont=\sffamily\bfseries,% + notefont=\sffamily\bfseries,% + notebraces={}{},% + headpunct=,% + bodyfont=\sffamily,% + headformat=\color{corol-color}Corollaire~\NUMBER\hfill\NOTE\smallskip\linebreak,% + preheadhook=\vspace{\freespace}\begin{corol-leftbar},% + postfoothook=\end{corol-leftbar},% +]{better-corol} + +\declaretheorem[style=better-defn]{defn} +\declaretheorem[style=better-warn]{warn} +\declaretheorem[style=better-exemple]{exemple} +\declaretheorem[style=better-corol]{corol} +\declaretheorem[style=better-props, numberwithin=defn]{props} +\declaretheorem[style=better-thm, sibling=props]{thm} +\newtheorem*{lemme}{Lemme}%[subsection] +%\newtheorem{props}{Propriétés}[defn] + +\newenvironment{system}% +{\left\lbrace\begin{align}}% +{\end{align}\right.} + +\newenvironment{AQT}{{\fontfamily{qbk}\selectfont AQT}} + +\usepackage{LobsterTwo} +\titleformat{\section}{\newpage\LobsterTwo \huge\bfseries}{\thesection.}{1em}{} +\titleformat{\subsection}{\vspace{2em}\LobsterTwo \Large\bfseries}{\thesubsection.}{1em}{} +\titleformat{\subsubsection}{\vspace{1em}\LobsterTwo 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